Question

如圖，MN=10是⊙O的直徑，AE⊥MN于E，CF⊥MN于F，AE=4，CF=3，
（1）在MN上找一點(diǎn)P，使PA+PC最短；
（2）求出PA+PC最短的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）根據(jù)圓的對(duì)稱性可知：MN為圓的一條對(duì)稱軸，所以延長(zhǎng)AE交圓于H，連接CH交MN于P，則P為所求，即此時(shí)PA+PC最短；
（2）連接OA，OC，利用勾股定理可求出OE，OF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出OP的長(zhǎng)，再利用勾股定理即可求出CP和PH的長(zhǎng)，則PA+PC最短的距離可求出．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）連接OA，OC，
∵M(jìn)N=10是⊙O的直徑，
∴OA=OC=5，
∵AE=4，CF=3，
由勾股定理可得：OE=3，OF=4，
∴OP=1，
∴EP=4，PF=3，
∴PH=

42+42

=4

2

，CP=

32+32

=3

2

，
∴CH=CP+PH=7

2

，
∴PA+PC最短的距離7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，凡是涉及最短距離的問(wèn)題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對(duì)稱變換來(lái)解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)以及垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用．