Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2-4ax+b交x軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于C，且OB=OC=3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)G在直線BC上，若，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）將拋物線向上平移m個(gè)單位，交BC于點(diǎn)M，N（如圖2），若∠MON=45°，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）；（3）m=

【解析】試題分析： 把 代入 解方程組即可．
直線BC:y=-x+3,設(shè)點(diǎn)根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，列出式子，求出的值.
（3）如圖2中，將△OCM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBG.首先證明MN2=CM2+BN2，設(shè) 則設(shè)平移后的拋物線的解析式為由 消去得到 由

，推出 關(guān)于直線對(duì)稱，所以 設(shè) 則 利用勾股定理求出以及的長(zhǎng)，再根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，列出方程即可解決問題．

試題解析：(1)∵OB=OC=3，

代入

得 解得

∴拋物線的解析式為y=x2-4x+3．

（2）直線BC: 設(shè)點(diǎn)

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：

，

，

（3）如圖2中，將△OCM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△OBG．

∵∠MON=45°，

∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，

∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，

∴△ONM≌△ONG，

∴MN=NG，

∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，

∴NG2=BN2+BG2，

∴MN2=CM2+BN2，

設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=x2-4x+3+m， M（x1，y1），N（x2，y2）,

則

設(shè)平移后的拋物線的解析式為

由 消去得到

，推出

關(guān)于直線對(duì)稱，所以 設(shè) 則∴

(負(fù)根已經(jīng)舍棄)，