Question

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、CD、BC上，且EF⊥AG，垂足為M，那么AG與EF

 

（“相等”或“不相等”）
（2）如圖2，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊，使得點A落到邊BC上．若BG=2cm，求出BE和EF的長度．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）可過點E作EH∥AD，證明Rt△ABG≌Rt△EHF即可得出結(jié)論．
（2）借助對稱原理，根據(jù)勾股定理即可求出BE、AG的長；利用第（1）問中的結(jié)論即可獲得EF的長．

解答：解：（1）如圖（1）所示，過點E作EH∥AD，交CD于H；則四邊形AEHD為矩形；
∴EH=AD=AB；
∵AG⊥EF，EH∥AD，
∴∠BAG+∠AEF=90°，∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠BAG=∠FEH；在△ABG與△EHF中，
∵

∠BAG=∠FEH AB=EH ∠ABG=∠EHF

，∴△ABG≌△EHF（ASA）
∴AG=EF．
故答案為相等；


（2）如圖（2），連接AG；
設(shè)BE=x，則AE=8-x；由對稱原理得：EG=EA=8-x，∠AEF=∠GEF，
∴EF⊥AG；由問題（1）知：EF=AG；
∵四邊形ABCD為正方形，∴∠EBG=90°；
由勾股定理得：AG²=8²+2²，AG=2

17

；
（8-x）²=x²+2²，解得x=

15

4

，
∴BE=

15

4

（cm），EF=2

17

（cm）．

點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、對稱原理及其應(yīng)用問題；對綜合的分析問題、解決問題的能力提出了較高的要求．