Question

如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD、AC．

（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，仍然有DE⊥EC，DE=CE，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發(fā)生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，
①試猜想BD與AC的數量關系，并說明理由；
②你能求出BD與AC所成的角的度數嗎？如果能，請直接寫出該角的度數；如果不能，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）延長BD交AC于F，求出∠AEB=∠AEC=90°，證出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠DBE=∠CAE，根據∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°，求出∠AFD=90°即可；
（2）求出∠BED=∠AEC，證出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，根據∠ACE+∠EOC=90°求出∠BDE+∠DOF=90°，求出∠DFO=90°即可；
（3）求出∠BED=∠AEC，證出△BED≌△AEC，推出∠BDE=∠ACE，根據三角形內角和定理求出∠DFC即可．

解答：
解：（1）BD=AC，BD⊥AC，
理由是：延長BD交AC于F，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△BED和△AEC中

BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC

∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，
∵∠BED=90°，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴∠AFD=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；

（2）
不發(fā)生變化，
理由是：∵∠BEA=∠DEC=90°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中

BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC

∴△BED≌△AEC，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，
∵∠DEC=90°，
∴∠ACE+∠EOC=90°，
∵∠EOC=∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF=90°，
∴∠DFO=180°-90°=90°，
∴BD⊥AC；

（3）
能，
理由是：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中

BE=AE ∠BED=∠AEC DE=EC

∴△BED≌△AEC，
∴∠BDE=∠ACE，
∴∠DFC=180°-（∠BDE+∠EDC+∠DCF）
=180°-（∠ACE+∠EDC+∠DCF）
=180°-（60°+60°）
=60°．

點評：本題考查了等邊三角形性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查了學生的推理能力．