【題目】如圖,在ABC中,∠A=60°,BEAC,垂足為E,CFAB,垂足為F,點DBC的中點.

(1)求證:DEDF;

(2)試猜想DEF是不是等邊三角形?如果是,請加以證明;如果不是,請說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2)DEF是等邊三角形.理由見解析.

【解析】

(1)DEDF都是以BC為斜邊的直角三角形BCF和直角三角形BCE的中線,所以相等;

(2)由等腰三角形性質(zhì)得∠EDC=180°-2∠DCE,∠BDF=180°-2∠ABD,

由平角定義得∠FDE=180°-∠EDC-∠BDF=180°-(180°-2∠DCE)-(180°-2∠ABD)=2(∠DCE+∠ABD)-180°=2×(180°-∠A)-180°=60°,由(1)DE=DF,根據(jù)等邊三角形判定可得.

(1)證明:在RtBFC中,

DF為斜邊BC上的中線,

DFBC.

同理可得DEBC,

DEDF.

(2)解:DEF是等邊三角形.理由如下:

(1)DE=BC=CD,

∴∠EDC=180°-2∠DCE.

同理∠BDF=180°-2∠ABD,

∴∠FDE=180°-∠EDC-∠BDF=180°-(180°-2∠DCE)-(180°-2∠ABD)=2(∠DCE+∠ABD)-180°=2×(180°-∠A)-180°=60°.

(1)DE=DF,

∴△DEF是等邊三角形.

練習冊系列答案
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