如圖,直線y=x+b(b≠0)交坐標軸于A、B兩點,交雙曲線y=
2
x
于點D,過D作兩坐標軸的垂線DC、DE,連接OD.
(1)求證:AD平分∠CDE;
(2)對任意的實數(shù)b(b≠0),求證:AD•BD為定值;
(3)是否存在直線AB,使得四邊形OBCD為平行四邊形?若存在,求出直線的解析式;若不存在,請說明理由.
(1)證明:由y=x+b得A(-b,0),B(0,b).
∴∠DAC=∠OAB=45°
又∵DC⊥x軸,DE⊥y軸
∴∠ACD=∠CDE=90°
∴∠ADC=45°即AD平分∠CDE.

(2)證明:∵∠ACD=90°,∠ADC=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
同理可得,△BDE是等腰直角三角形,
∴AD=
2
CD,BD=
2
DE.
∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4為定值.

(3)存在直線AB,使得OBCD為平行四邊形.
若OBCD為平行四邊形,則AO=AC,OB=CD.
由(1)知AO=BO,AC=CD,
設(shè)OB=a(a>0),
∴B(0,-a),D(2a,a),
∵D在y=
2
x
上,
∴2a•a=2,
∴a1=-1(舍去),a2=1,
∴B(0,-1).
又∵B在y=x+b上,
∴b=-1.
即存在直線:y=x-1,使得四邊形OBCD為平行四邊形.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知邊長為4的正方形ABCD,頂點A與坐標原點重合,一反比例函數(shù)圖象過頂點C,動點P以每秒1個單位速度從點A出發(fā)沿AB方向運動,動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發(fā)沿正方形的邊DC-CB-BA方向順時針折線運動,當(dāng)點P與點Q相遇時停止運動,設(shè)點P的運動時間為t.
(1)求出該反比例函數(shù)解析式.
(2)連接PD,當(dāng)以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時,求點Q的坐標.
(3)用含t的代數(shù)式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積S,并指出相應(yīng)t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知:如圖,在直角坐標系中,有菱形OABC,A點的坐標為(10,0),對角線OB、AC相交于D點,雙曲線y=
k
x
(x>0)經(jīng)過D點,交BC的延長線于E點,且OB•AC=160,有下列四個結(jié)論:
①雙曲線的解析式為y=
20
x
(x>0);
②E點的坐標是(4,8);
③sin∠COA=
4
5
;
④AC+OB=12
5
,其中正確的結(jié)論有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,過原點O的直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、B,根據(jù)圖中提供的信息可知,這個反比例函數(shù)的解析式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,直線y=
4
3
x與雙曲線y=
k
x
(x>0)交于點A,將直線y=
4
3
x向下平移個6單位后,與雙曲線y=
k
x
(x>0)交于點B,與x軸交于點C,則C點的坐標為______;若
AO
BC
=2,則k=______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,反比例函數(shù)y=
k1
x
圖象在第一象限的分支上有一點C(1,3),過點C的直線y=k2x+b(k2<0,b為常數(shù))與x軸交于點A(a,0).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)求A點橫坐標a和k2之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)直線與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的另一交點的橫坐標為3時,求△COA的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,已知正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=
15-k
x
的圖象相交于A、B兩點,且A點橫坐標為2.
(1)求A、B兩點坐標;
(2)在x軸上取關(guān)于原點對稱的P、Q兩點,P點在Q點右邊,試問四邊形AQBP一定是一個什么形狀的四邊形?并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

如圖,點A是雙曲線y=
4
x
在第一象限上的一動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,點C在第二象限,隨著點A的運動,點C的位置也不斷的變化,但始終在一函數(shù)圖象上運動,則這個函數(shù)的解析式為______.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,是反比例函數(shù)y=
k
x
的圖象,且k是一元二次方程x2+x-6=0的一個根.
(1)求方程x2+x-6=0的兩個根;
(2)確定k的值;
(3)若m為非負實數(shù),對于函數(shù)y=
k
x
,當(dāng)x1=m+1及x2=m+2時,說明y1與y2的大小關(guān)系.

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