Question

如圖，點(diǎn)M，N是第一象限內(nèi)的兩點(diǎn)，坐標(biāo)分別為M（2，3），N（4，0）
（1）若點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若P，Q是y軸上的兩點(diǎn)（點(diǎn)P在Q的下方），且PQ=1，當(dāng)四邊形PQMN周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱，作出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，求得M′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線M′N的解析式，即可求得P的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱，作出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，作AB∥y軸且AB=1，連接BN交y軸于點(diǎn)P，過A作AQ∥BP交y軸于Q，此時(shí)四邊形PQMN周長(zhǎng)最小，求得B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線BN的解析式，即可求得P的坐標(biāo)；

解答：解：（1）如圖1所示：作出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交y軸于點(diǎn)P，此時(shí)M′N就是PM+PN的最小值，由于MN是定值，所以此時(shí)△PMN周長(zhǎng)最小，
由題意可得出：M′（-2，3），
∵N（4，0），
設(shè)直線M′N的解析式為y=kx+b，
∴

-2k+b=3 4k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線M′N的解析式為y=-

1

2

x+2，
令x=0，則y=2，
∴P的坐標(biāo)為（0，2）；
（2）如圖2所示：作出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A，作AB∥y軸且AB=1，連接BN交y軸于點(diǎn)P，過A作AQ∥BP交y軸于Q，此時(shí)BN就是QM+PN的最小值，由于MN、PQ是定值，所以此時(shí)四邊形PQMN周長(zhǎng)最小，
由題意可得出：A（-2，3），
∵AB=PQ=1，
∴B（-2，2）
∵N（4，0），
設(shè)直線BN的解析式為y=mx+n，
∴

-2m+n=2 4m+n=0

，解得

m=- 1 3 n= 4 3

，
∴直線BN的解析式為y=-

1

3

x+

4

3

，
令x=0，則y=

4

3

，
∴P的坐標(biāo)為（0，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用軸對(duì)稱求最短路線，待定系數(shù)法求解析式以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征等知識(shí)，得出P點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．