Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)M的直線(xiàn)分別交軸，軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，且M是AB的中點(diǎn). 以OM為直徑的⊙P分別交軸，軸于C，D兩點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)E（位于點(diǎn)M右下方），連結(jié)DE交OM于點(diǎn)K.

（1）若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4），①求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；  ②求ME的長(zhǎng)；

（2）若，求∠OBA的度數(shù)；

（3）設(shè)（0<<1），，直接寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式.

Answer 1

解：（1）①如答圖，連接，

∵是⊙P的直徑，∴.

∵，∴∥，∥.

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn).

∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4），

∴.

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）.

②在中，∵，

∴由勾股定理，得.

∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴.

∵，，∴.∴.

∴.∴.

（2）如答圖，連接，

∵，∴.∴.

∵，∴是的中位線(xiàn). ∴∥.∴

又∵.∴.∴.

∵是⊙P的直徑，∴. ∴.

∵，∴.∴.

∵在中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴. ∴.

（3）關(guān)于的函數(shù)解析式為.

【分析】（1）①連接，由三角形中位線(xiàn)定理求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

②要求ME的長(zhǎng)，由知只要求出和的長(zhǎng)即可，的長(zhǎng)可由長(zhǎng)的一半求得，而長(zhǎng)可由勾股定理求得；的長(zhǎng)可由的對(duì)應(yīng)邊成比例列式求得.

（2）連接，求得得到，由得到，即因此求得.

（3）如答圖，連接，

∵是⊙P的直徑，∴.

∵（0<<1），不妨設(shè)，

∴在中，.

設(shè)，則.

∵在中，，∴.

∴.

∵，∴.

∴.

∵點(diǎn)P是MO的中點(diǎn)，∴.

∴.

∴關(guān)于的函數(shù)解析式為.