【題目】如圖①,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”.
【試題再現(xiàn)】如圖②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角頂點C在直線DE上,分別過點A,B作AD⊥DE于點D,BE⊥DE于點E.求證:△ADC∽△CEB.
【問題探究】在圖①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由.
【深入探究】如圖③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于點P,過點P作AB⊥AD于點A,交BC于點B.
(1)請證明點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)若AD=3,BC=5,試求AB的長.
【答案】【試題再現(xiàn)】見解析;【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點. 理由見解析;【深入探究】(1) 點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點,見解析;(2)
【解析】試題分析:【試題再現(xiàn)】易證∠BCE=∠CAD,又∠ADC=∠CEB=90°,故得△ADC∽△CEB.
【問題探究】要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點,只要證明有一組三角形相似就行,很容易證明△ADE∽△BEC,所以問題得解.
【深入探究】(1)分別證明△ADP∽△PDC,△BPC∽△PDC,從而△ADP∽△PDC∽△BPC,故點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,通過證明△ADP≌△EDP和△CBP≌△CEP得DC =8,再求出CF=2,在Rt△CDF中,由勾股定理,得AB=2.
試題解析:【試題再現(xiàn)】
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
∵∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ADC∽△CEB.
【問題探究】點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.
理由如下:
∵∠DEC=40°,
∴∠DEA+∠CEB=140°.
∵∠A=40°,
∴∠ADE+∠AED=140°,
∴∠ADE=∠CEB,
又∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,
∴點E是四邊形ABCD的邊AB上的相似點.
【深入探究】
(1)∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,
∴∠CDP+∠DCP= (∠ADC+∠BCD)=90°,
∵DA⊥AB,DA∥BC,
∴CB⊥AB,
∴∠DPC=∠A=∠B=90°,
∵∠ADP=∠CDP,
∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,
∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即點P是四邊形ABCD的邊AB上的一個強相似點.
(2)過點P作PE⊥DC于點E,過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形,
∴DF=AB,
在△ADP與△EDP中,
∴△ADP≌△EDP,
∴AD=DE,
同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,
∴DC=AD+BC=8.
在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,
由勾股定理,得DF==2,
∴AB=2.
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【題目】已知如圖:點(1,3)在函數(shù)y=(x>0)的圖象上,矩形ABCD的邊BC在x軸上,E是對角線BD的中點,函數(shù)y=(x>0)的圖象又經(jīng)過A、E兩點,點E的橫坐標為m,解答下列問題:
(1)求k的值;
(2)求點A的坐標;(用含m代數(shù)式表示)
(3)當∠ABD=45°時,求m的值.
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【題目】某造紙企業(yè)為了更好地處理污水問題,決定購買10臺新型污水處理設(shè)備.甲、乙兩種型號的設(shè)備可選,其中每臺的價格,月處理污水量如表:
A型 | B型 | |
價格(萬元/) | 10 | 8 |
處理污水量(噸/月) | 180 | 150 |
(1)經(jīng)預(yù)算:該企業(yè)購買污水處理設(shè)備的資金不超過85萬元,你認為該企業(yè)有哪幾種購買方案.
(2)在(1)的條件下,若每月需要處理的污水不低于1530噸,為了節(jié)約資金,請你為該企業(yè)設(shè)計一種最省錢的購買方案.
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【題目】 如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差,那么我們稱這個正整數(shù)為“和諧數(shù)”,如8=32-12,16=52-32,24=72-52,因此,8,16,24這三個數(shù)都是“和諧數(shù)”.
(1)在32,75,80這三個數(shù)中,是和諧數(shù)的是______;
(2)若200為和諧數(shù),即200可以寫成兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差,則這兩個連續(xù)奇數(shù)的和為______;
(3)小鑫通過觀察發(fā)現(xiàn)以上求出的“和諧數(shù)”均為8的倍數(shù),設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2n-1和2n+1(其中n取正整數(shù)),請你通過運算驗證“和諧數(shù)是8的倍數(shù)”這個結(jié)論是否正確.
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【題目】如圖,B、C、E三點在同一條直線上,AC∥DE,AC=CE,∠ACD=∠B.
(1)求證:BC=DE
(2)若∠A=40°,求∠BCD的度數(shù).
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【題目】已知A=2a2+3ab﹣2a﹣1,B=﹣a2+ab+.
(1)a=﹣1,b=﹣2時,求4A﹣(3A﹣2B)的值;
(2)若(1)中式子的值與a的取值無關(guān),求b的值.
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【題目】張老師為了了解班級學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況,對本班部分學(xué)生進行了為期半個月的跟蹤調(diào)查.他將調(diào)查結(jié)果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)統(tǒng)計圖解答下列問題:
(1)請計算出A類男生和C類女生的人數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(2)為了共同進步,張老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機機抽取一位同學(xué)進行“一幫一”互助學(xué)習(xí),請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學(xué)恰好是一男一女同學(xué)的概率.
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【題目】如圖,某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD,小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60°.沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°,已知山坡AB的坡度i=1:,AB=10米,AE=15米.(i=1:是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)
(1)求點B距水平面AE的高度BH;
(2)求廣告牌CD的高度.
(測角器的高度忽略不計,結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù):1.414,1.732)
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