Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H． 
（1）求證：△AED≌△DFB；
（2）求證：∠DEB=∠CBG；
（3）求證：S_{四邊形BCDG}=

3

4

CG²．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知可知△ABD為等邊三角形，再根據(jù)SAS即可證△AED≌△DFB；
（2）根據(jù)∠DEB外角性質(zhì)，∠DEB=∠A+∠ADE，又∠CBG=∠DBC+∠DBF，容易得到∠A=∠DBC，∠ADE=∠DBF，即可證
（3）先求證點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角性質(zhì)，得出∠BGC=∠DGC=60°，容易求證△CBM≌△CDN，S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，根據(jù)有一個(gè)角為60°的特殊直角三角形性質(zhì)，求得兩直角邊，即可證

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
∴△AED≌△DFB（SAS）；

（2）∵ABCD為菱形，△ABD為等邊三角形
∴∠A=∠DBC=60°，
由（1）已證△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DEB=∠A+∠ADE，∠CBG=∠DBC+∠DBF，
∴∠DEB=∠CBG；


（3）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°
∴點(diǎn)B、C、D、G四點(diǎn)共圓，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
過(guò)點(diǎn)C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
則△CBM≌△CDN，（HL）
∴S_{四邊形BCDG}=S_{四邊形CMGN}．
S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=

1

2

CG，CM=

3

2

CG，
∴S_{四邊形CMGN}=2S_△CMG=2×

1

2

×GM×CM=2×

1

2

×

1

2

CG×

3

2

CG=

3

4

CG²；

點(diǎn)評(píng)：考查三角形全等的求證，巧妙地把四邊形與圓的知識(shí)結(jié)合，難度有點(diǎn)大，綜合性強(qiáng)