Question

如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F．
（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=5，求梯形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）求證：ED-FC=BE．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),梯形

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ECB=15°，然后求出∠DCF=60°，再求出∠CDF=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得CD=2FC，利用勾股定理列式求出DF，再求出BF，然后根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)的定義列式計(jì)算即可得解；
（2）過點(diǎn)C作CG⊥AD的延長(zhǎng)線于G，把△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△GCH，使BC與CG重合，求出∠DCH=45°，從而得到∠DCH=∠ECD，然后利用“邊角邊”證明△CDE和△CDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DH，然后根據(jù)DH-DG=GH等量代換即可得證．

解答：（1）解：∵∠ABC=90°，∠BEC=75°，
∴∠ECB=90°-75°=15°，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCF=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-60°=30°，
∴CD=2FC=2×5=10，
由勾股定理得，DF=

102-52

=5

3

，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，DF⊥BC，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BC=AB=DF=5

3

，
∴AD=BF=BC-FC=5

3

-5，
∴梯形ABCD的周長(zhǎng)=5

3

+5

3

+10+5

3

-5=15

3

+5；

（2）證明：如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AD的延長(zhǎng)線于G，把△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△GCH，使BC與CG重合，
則FC=DG，△BCE≌△GCH，
∴CE=CH，∠BCE=∠GCH，
∵∠ECD=45°，
∴∠DCH=∠DCG+∠GCH=∠DCG+∠BCE=90°45°=45°，
∴∠DCH=∠ECD，
在△CDE和△CDH中，

CE=CH ∠DCH=∠ECD CD=CD

，
∴△CDE≌△CDH（SAS），
∴DE=DH，
由圖可知，DH-DG=GH，
∴ED-FC=BE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出含30°角的直角三角形是解題的關(guān)鍵，（2）難點(diǎn)在于利用旋轉(zhuǎn)作出全等三角形．