Question

 如圖，已知拋物線與軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與軸交于點C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式及頂點M坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上找到點P，使得△PAC的周長最小，并求出點P的坐標；

（3）若點D是線段OC上的一個動點（不與點O、C重合）．過點D作DE∥PC交軸于點E．設CD的長為m，問當m取何值時，S_△PDE =S_{四邊形ABMC}．                                                  

Answer 1

解：（1）∵ 拋物線（）A（-1，0）、B（3，0）C（0，3）三點，

∴ ，解得  ．

∴ 拋物線的解析式為，頂點M為（1，4）．         

（2）∵ 點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，

       ∴ 連結BC與拋物線對稱軸交于一點，即為所求點P．

       設對稱軸與x軸交于點H，

∵ PH∥y軸，

∴ △PHB∽△CBO．

∴ ．

       由題意得BH=2，CO=3，BO=3，

 ∴ PH=2．

∴ P（1，2）．                 

（3）∵ A（-1，0）B（3，0），C(0，3)，M(1，4)，

   ∴ S_{四邊形ABMC}=9．

∵ S_{四邊形ABMC} =9S_△PDE， ∴=1．

      ∵ OC=OD，∴∠OCB=∠OBC= 45°．

∵ DE∥PC，∴∠ODE=∠OED= 45°．

∴ OD=OE=3-m．

∵ S_{四邊形PDOE}=，

∴ S_△PDE= S_{四邊形PDOE}- S_△DOE=（0<m<3）．

∴．解得，m₁=1， m₂=2．