Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=

1

2

，OA=2，OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D（點(diǎn)D在第一象限）．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BPD的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)對稱軸列式求出b，再根據(jù)OA寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式求出c，即可得解，寫出直線OD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)D關(guān)于對稱軸的點(diǎn)D′的坐標(biāo)，連接BD′，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，BD′與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再設(shè)直線BD′的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD的解析式，然后求解即可．

解答：解：（1）對稱軸為直線x=-

b

2×(- 1 2 )

=

1

2

，
解得b=

1

2

，
∵OA=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，-

1

2

×（-2）²+

1

2

×（-2）+c=0，
解得c=3，
所以拋物線解析式為y=-

1

2

x²+

1

2

x+3；

（2）∵OD平分∠BOC交拋物線于點(diǎn)D，
∴直線OD的解析式為y=x，
聯(lián)立

y=- 1 2 x2+ 1 2 x+3 y=x

，
解得

x1=-3 y1=-3

，

x2=2 y2=2

，
∵點(diǎn)D在第一象限，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），
∴點(diǎn)D關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)為（-1，2），
令y=0，則-

1

2

x²+

1

2

x+3=0，
整理得，x²-x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
設(shè)直線BD′的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 -k+b=2

，
解得

k=- 1 2 b= 3 2

，
∴直線BD′的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y=-

1

2

×

1

2

+

3

2

=

5

4

，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

2

，

5

4

）．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，軸對稱確定最短路線問題，難點(diǎn)在于（2）確定出點(diǎn)P的位置．