Question

反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)A（m-1，m+1）、B（2m-1，

m

2

）兩點(diǎn)，直線AO交雙曲線于另一點(diǎn)C．D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作直線AE⊥CD于E，交y軸于F點(diǎn)，連接FD．在D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，試判斷以線段AF，CD，DF的長(zhǎng)為邊的三角形的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：首先利用待定系數(shù)法求得A、B的坐標(biāo)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（m，0），求得直線AE的解析式，即可求得F的坐標(biāo)，然后表示出AF²、CD²、DF²的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理判斷．

解答：解：根據(jù)題意得：（m-1）（m+1）=（2m-1）•

m

2

=k，
解得：m=2，k=3，
則A的坐標(biāo)是（1，3），B的坐標(biāo)是（3，1）．
設(shè)D的坐標(biāo)是（m，0），
則CD²=（m+1）2+3²=m²+2m+10，
設(shè)直線CD的解析式是：y=kx+b，
根據(jù)題意得：

mk+b=0 -k+b=-3

，
解得：k=

3

m+1

，
∵AE⊥CD，
∴設(shè)直線AE的解析式是：y=-

m+1

3

x+c，
把（1，3）代入解析式，得：c=

m+10

3

，
則直線AE的解析式是：y=-

m+1

3

+

m+10

3

，
令x=0，解得y=

m+10

3

，即F的坐標(biāo)是（0，

m+10

3

）．
則AF²=1+（

m+10

3

-3）²=

m2+20m+100

9

-2m-10，
DF²=m²+（

m+10

3

）2=m²+

m2+20m+100

9

．
又∵CD²=m²+2m+10，
∴CD²+AF²=DF²．
∴以線段AF，CD，DF的長(zhǎng)為邊的三角形是以DF為斜邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及兩點(diǎn)之間距離公式的求法，以及兩直線垂直的條件，利用m表示出F的坐標(biāo)是關(guān)鍵．