Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為AB、BC、CD邊上的點(diǎn)，EB=3cm，GC=4cm，連接EF、FG、GE恰好構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，則正方形的邊長(zhǎng)為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過G作GM⊥AB于M，設(shè)BF=x，CF=y，利用勾股定理得出在Rt△GEM中，EG²=1+（x+y）²，在Rt△GCFM中，GF²=16+y²在Rt△EBF中，EF²=9+x²；進(jìn)一步聯(lián)立得出方程，求得方程的解即可解決問題．

解答：解：如圖，

過G作GM⊥AB于M，設(shè)BF=x，CF=y，
則ME=CG-BE=1，
在Rt△GEM中，EG²=1+（x+y）²，
在Rt△GCFM中，GF²=16+y²
在Rt△EBF中，EF²=9+x²
∵等邊△EFG中EF=EG=GF，
∴9+x²=16+y²，即x²-y²=7     （1）
1+（x+y）²=9+x²，即y²+2xy=8   （2）
（1）×8-（2）×7后整理得，8x²-14xy-15y²=0，
兩邊同除以y²得8（

x

y

）²+14（

x

y

）-15=0，
設(shè)a=

x

y

，則有8a²-14a-15=0
（2a-5）（4a+3）=0，解之得a=

5

2

或a=-

3

4

（舍去）
所以x=

5

2

y，代入（1）得，

21

4

y²=7，
y=

2 3

3

cm．
所以x=

5

2

y=

5 3

3

，
所以正方形邊長(zhǎng)=x+y=

7 3

3

cm．
故答案為：

7 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及利用方程的思想解決有關(guān)圖形的計(jì)算問題．