【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的解析式
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,請直接寫出P點的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當(dāng)點E運動到什么位置時,△CBF的面積最大?請求出△CBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵A(﹣1,0),C(0,2)在拋物線y= x2+bx+c上,

,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x+2;


(2)

解:∵y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ 2+ ,

∴拋物線對稱軸為直線x= ,

∴D( ,0),且C(0,2),

∴CD= = ,

∵點P在對稱軸上,

∴可設(shè)P( ,t),

∴PD=|t|,PC= ,

當(dāng)PD=CD時,則有|t|= ,解得t=± ,此時P點坐標(biāo)為( )或( ,﹣ );

當(dāng)PC=CD時,則有 = ,解得t=0(與D重合,舍去)或t=4,此時P點坐標(biāo)為( ,4);

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標(biāo)為( )或( ,﹣ )或( ,4);


(3)

解:當(dāng)y=0時,即﹣ x2+ x+2=0,解得x=﹣1或x=4,

∴A(﹣1,0),B(4,0),

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s,由題意可得 ,解得 ,

∴直線BC解析式為y=﹣ x+2,

∵點E是線段BC上的一個動點,

∴可設(shè)E(m,﹣ m+2),則F(m,﹣ m2+ m+2),

∴EF=﹣ m2+ m+2﹣(﹣ m+2)=﹣ m2+2m=﹣ (m﹣2)2+2,

∴SCBF= ×4EF=2[=﹣ (m﹣2)2+2]=﹣(m﹣2)2+4,

∵﹣1<0,

∴當(dāng)m=2時,SCBF有最大值,最大值為4,

此時﹣ x+2=1,

∴E(2,1),即E為BC的中點,

∴當(dāng)E運動到BC的中點時,△CBF的面積最大,最大面積為4,此時E點坐標(biāo)為(2,1).


【解析】(1)由A、C的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)可設(shè)出P點坐標(biāo),則可表示出PC、PD和CD的長,分PD=CD、PC=CD兩種情況分別得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程,可求得P點坐標(biāo);(3)由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式,可設(shè)出E點坐標(biāo),則可表示出F點的坐標(biāo),從而可表示出EF的長,可表示出△CBF的面積,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值及此時點E的坐標(biāo).

練習(xí)冊系列答案
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組別

成績x

頻數(shù)(人數(shù))

1

25≤x<30

4

2

30≤x<35

6

3

35≤x<40

14

4

40≤x<45

a

5

45≤x<50

10

請結(jié)合圖表完成下列各題:

(1)求表中a的值;

(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整;

(3)若測試成績不低于40分為優(yōu)秀,則本次測試的優(yōu)秀率是多少?

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P為線段EF上一動點,當(dāng)PB+PM最小時,請描述點P的位置為   

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(1)在這次調(diào)查中,喜歡籃球項目的同學(xué)有人,在扇形統(tǒng)計圖中,“乒乓球”的百分比為%,如果學(xué)校有800名學(xué)生,估計全校學(xué)生中有人喜歡籃球項目.
(2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)在被調(diào)查的學(xué)生中,喜歡籃球的有2名女同學(xué),其余為男同學(xué).現(xiàn)要從中隨機抽取2名同學(xué)代表班級參加;@球隊,請直接寫出所抽取的2名同學(xué)恰好是1名女同學(xué)和1名男同學(xué)的概率.

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根據(jù)以上規(guī)律,解答下列問題:

(1)(a+b)4的展開式共有多少項,系數(shù)分別為多少;

(2)寫出(a+b)5的展開式;

(3)(a+b)n的展開式共有多少項,系數(shù)和為多少.

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A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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