Question

【題目】如圖，點與分別是兩個函數(shù)圖象與上的任一點．當時，有成立，則稱這兩個函數(shù)在上是“相鄰函數(shù)”，否則稱它們在上是“非相鄰函數(shù)”．例如，點與分別是兩個函數(shù)與圖象上的任一點，當時， ，通過構造函數(shù)并研究它在上的性質，得到該函數(shù)值得范圍是，所以成立，因此這兩個函數(shù)在上是“相鄰函數(shù)”．

（）判斷函數(shù)與在上是否為“相鄰函數(shù)”，并說明理由．

（）若函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，求的取值范圍．

（）若函數(shù)與在上是“相鄰函數(shù)”，直接寫出的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）的最大值為， 的最小值為．

【解析】（1）直接利用相鄰函數(shù)的定義結合一次函數(shù)增減性，得出當x=0時，函數(shù)有最大值1，當x=-2時，函數(shù)有最小值-1，即-1≤y≤1,進而判斷即可；

（2）直接利用相鄰函數(shù)的定義結合二次函數(shù)增減性，得出當x=1時，函數(shù)有最大值a-1，當x=0，或x=2時，函數(shù)有最大值a，即a-1≤y≤a,進而判斷即可；

（3）直接利用相鄰函數(shù)的定義結合函數(shù)增減性，得出當x=1時，函數(shù)有最大值a-2，當x=2時，函數(shù)有最大值，即a-2≤y≤,進而判斷即可．

解：（）函數(shù)與，在上為“相鄰函數(shù)”．

∵，

∴為相鄰函數(shù)．

（）

．

∴．

①當，即時．

，

∴無解．

②，即時，

∴．

③即時．

．

∴無解．

④當即時．

，

∴，無解．

綜上所得： ．

（）∵當時．

時， ．

∴，

∴．

當時，

時．

∴，

∴．

綜上所得： 與在上，

是“相鄰函數(shù)”時．

的最大值為．

的最小值為．

“點睛”此題主要考查了函數(shù)的綜合以及函數(shù)增減性和新定義，根據(jù)題意正確理解“相鄰函數(shù)”的定義是解題關鍵．