【題目】已知拋物線y=﹣mx2+4x+2m與x軸交于點(diǎn)A(α,0),B(β,0),且=﹣2,

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線的對(duì)稱軸為l,與y軸的交點(diǎn)為C,頂點(diǎn)為D,點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為E,是否存在x軸上的點(diǎn)M,y軸上的點(diǎn)N,使四邊形DNME的周長最小?若存在,請(qǐng)畫出圖形(保留作圖痕跡),并求出周長的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

(3)若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在x軸上,當(dāng)以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】1y=﹣x2+4x+2;210+23(2﹣,4),(2+,4),(2﹣,﹣4),(2+,﹣4).

【解析】

試題分析:(1)利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系得出α+β=,αβ=﹣2,進(jìn)而代入求出m的值即可得出答案;

(2)利用軸對(duì)稱求最短路線的方法,作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′,得出四邊形DNME的周長最小為:D′E′+DE,進(jìn)而利用勾股定理求出即可;

(3)利用平行四邊形的判定與性質(zhì)結(jié)合P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±4,進(jìn)而分別求出即可.

解:(1)由題意可得:α,β是方程﹣mx2+4x+2m=0的兩根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得,

α+β=,αβ=﹣2,

=﹣2,

=﹣2,即=﹣2,

解得:m=1,

故拋物線解析式為:y=﹣x2+4x+2;

(2)存在x軸上的點(diǎn)M,y軸上的點(diǎn)N,使得四邊形DNME的周長最小,

y=﹣x2+4x+2=﹣(x﹣2)2+6,

拋物線的對(duì)稱軸l為x=2,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(2,6),

拋物線與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(0,2),點(diǎn)E與點(diǎn)C關(guān)于l對(duì)稱,

E點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,2),

作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′,

則D′的坐標(biāo)為;(﹣2,6),E′坐標(biāo)為:(4,﹣2),

連接D′E′,交x軸于M,交y軸于N,

此時(shí),四邊形DNME的周長最小為:D′E′+DE,如圖1所示:

延長E′E,′D交于一點(diǎn)F,在RtD′E′F中,D′F=6,E′F=8,

則D′E′===10,

設(shè)對(duì)稱軸l與CE交于點(diǎn)G,在RtDGE中,DG=4,EG=2,

DE===2,

四邊形DNME的周長最小值為:10+2

(3)如圖2,P為拋物線上的點(diǎn),過點(diǎn)P作PHx軸,垂足為H,

若以點(diǎn)D、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則PHQ≌△DGE,

PH=DG=4,

|y|=4,

當(dāng)y=4時(shí),﹣x2+4x+2=4,

解得:x1=2+,x2=2﹣,

當(dāng)y=﹣4時(shí),﹣x2+4x+2=﹣4,

解得:x3=2+,x4=2﹣,

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為;(2﹣,4),(2+,4),(2﹣,﹣4),(2+,﹣4).

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