Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為A（-1，-1），與x軸的一個交點為G（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接OA，過點A作AB⊥OA，交x軸于點C，交拋物線于點B．求直線AC的解析式及B點坐標；
（3）點Q在直線AB下方的拋物線上，當△QAB的面積最大時，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設頂點式解析式y(tǒng)=a（x+1）²-1，然后把點G的坐標代入求解即可；
（2）根據(jù)點A的坐標求出∠AOC=45°，然后判斷出△ACO是等腰直角三角形，再求出CO，然后寫出點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點B的坐標；
（3）設過點Q∥y軸的直線與AB相交于點P，表示出PQ，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理，然后利用二次函數(shù)的最值問題求解得到點Q的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點Q的縱坐標，從而得解．

解答：解：（1）設頂點式解析式y(tǒng)=a（x+1）²-1，
將點G（1，0）代入得，a（1+1）²-1=0，
解得a=

1

4

，
所以，y=

1

4

（x+1）²-1=

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

；

（2）∵A（-1，-1），
∴∠AOC=45°，
∵AB⊥OA，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴CO=1×2=2，
∴點C的坐標為（-2，0），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=-1 -2k+b=0

，
解得

k=-1 b=-2

，
所以，直線AC的解析式為y=-x-2，
聯(lián)立

y=-x-2 y= 1 4 x2+ 1 2 x- 3 4

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-5 y2=-7

，
所以，點B的坐標為（-5，-7）；

（3）設過點Q∥y軸的直線與AB相交于點P，
則PQ=（-x-2）-（

1

4

x²+

1

2

x-

3

4

）=-

1

4

x²-

3

2

x-

5

4

=-

1

4

（x+3）²+1，
∵△QAB的面積=

1

2

PQ•（-1+5）=2PQ=-

1

2

（x+3）²+2，
∴當x=-3時，△QAB的面積最大，
此時，y=

1

4

（-3+1）²-1=0，
點Q的坐標為（-3，0）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標的方法，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，（1）利用頂點式解析式求解更簡便，（3）把三角形的面積分成兩個部分表示是解題的關(guān)鍵．