Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB邊于點(diǎn)E，EF∥BC，交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，連接GF，且∠1=∠2，CE與GF交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MH⊥CD于點(diǎn)H．
（1）求證：四邊形BCFE是菱形；
（2）若CH=1，求BC的長；
（3）求證：EM=FG+MH．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，可得四邊形BCFE是平行四邊形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，繼而證得四邊形BCFE是菱形；
（2）由∠1=∠2，可得∠ECF=∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF=2CH，繼而求得BC的長；
（3）首先連接BC交CF于點(diǎn)O，易得△BCF是等邊三角形，繼而可得OM=MH，OE=FG，則可證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ECF，
∵EF∥BC，
∴四邊形BCFE是平行四邊形，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECF，
∴∠BCE=∠1，
∴BC=BE，
∴四邊形BCFE是菱形；

（2）∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，
∴∠ECF=∠2，
∴CM=FM，
∵M(jìn)H⊥CD，
∴CF=2CH=2×1=2，
∵四邊形BCFE是菱形；
∴BC=CF=2；

（3）連接BC交CF于點(diǎn)O，
∵G是BC中點(diǎn)，
∴CG=

1

2

CB，
∵CH=

1

2

CF，
∴CG=CH，
在△CGM和△CHM中，

CM=CM ∠GCM=∠HCM CG=CM

，
∴△CGM≌△CHM（SAS），
∴∠CGM=∠CHM=90°，
即FG⊥BC，
∴CF=BF，
∵BC=CF，
∴BC=CF=BF，
∴△BCF是等邊三角形，
∴∠BFC=60°，
∴∠2=∠BFG=30°，
∵BF⊥CE，
∴OM=MH，
∵OE=OC=FG，
∴EM=FG+MH．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．