Question

已知菱形AEFB是由ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，這兩個(gè)菱形的邊長都是a．

（1）如圖1，連接DE，CF，求證：四邊形CDEF為矩形；
（2）如圖2，連接BD，BE，BD=AD=a，M，N分別是邊BD，BE上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足DM+NE=a．判斷△AMN的形狀，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)△AMN的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)就可以得出CD∥EF，CD=EF就可以得出四邊形CDEF是平行四邊，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠CDE=90°，就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和BD=AD=a可以得出△ABD和△ABE是等邊三角形，進(jìn)而就可以得出△ABM≌△AEN就可以得出AM=AN，∠BAM=∠EAN，就可以得出∠MAN=60°，進(jìn)而得出結(jié)論；
（3）作AG⊥MN于G，由△AMN是等邊三角形就可以得出∠ANM=60°，AG=sin∠60°AN，就可以得出S_△AMN=

1

2

MN•AG=

1

2

MN•sin∠60°AN=

1

2

sin∠60°AN²．要使S最小，只有當(dāng)AN最小，即點(diǎn)A到BE的距離最小，得出AN⊥BE時(shí)，AN最�。�由勾股定理就可以求出AN的最小值而得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1，∵菱形AEFB是由菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AB=BC=CD=AD=AE=EF=BF，∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，∠1=∠2．
∴四邊形CDEF是平行四邊．
∵AD=AE，∠DAB=∠EAB，
∴AB⊥ED，
∴∠1=90°，
∴∠2=90°．
∴平行四邊形CDEF是矩形；
（2）△AMN是等邊三角形．理由：
證明：如圖2∵菱形AEFB是由菱形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，
∴AB=BC=CD=AD=AE=EF=BF，∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF．
∵BD=AD，
∴AD=AB=BD=BE=AE，
∴△ABD為的年三角形，
∴∠BAE=∠BAD=∠ABE=∠AEB=60°，
∵DM+NE=a．DM+BM=a，
∴DM+NE=DM+BM，
∴NE=BM．
在△ABM和△AEN中，

BM=EN ∠ABD=∠AEB AB=AE

，
∴△ABM≌△AEN（SAS），
∴AM=AN，∠BAM=∠EAN．
∵∠BAN+∠EAN=60°，
∴∠BAN+∠BAM=∠MAN=60°．
∵AM=AN，
∴△AMN是等邊三角形；
（3）解：如圖2，作AG⊥MN于G．
∵△AMN是等邊三角形，
∴∠ANM=60°，MN=AN
∴AG=sin∠60°AN．
∴S_△AMN=

1

2

MN•AG=

1

2

MN•sin∠60°AN，
∴S_△AMN=

1

2

sin∠60°AN²．
∴當(dāng)AN最小時(shí)，S最�。�
∵AN⊥BE時(shí)，AN最�。�
∴∠ANE=90°．
∵AB=AE=BE=a=2，
∴NE=1．
在Rt△ANE中，由勾股定理，得
AN=

3

．
∴S_△AMN最小=

1

2

×

3

2

×（

3

）²=

3 3

4

．
答：S的最小值為

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)的運(yùn)用，矩形的判定方法的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．