Question

如圖，一根木棒（AB）長(zhǎng)2a，斜靠在與地面（OM）垂直的墻壁（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．若木棒A端沿直線ON下滑，且B端沿直線OM向右滑行（NO⊥OM），于是木棒的中點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，已知A端下滑到A′時(shí)，AA′=(

3

-

2

)a．則中點(diǎn)P隨之運(yùn)動(dòng)到P′時(shí)經(jīng)過的路線長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：弧長(zhǎng)的計(jì)算,直角三角形斜邊上的中線,勾股定理的應(yīng)用

專題：綜合題

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OP=

1

2

AB=

1

2

A′B′=OP′，即P是隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路線是一段圓弧；在Rt△AOB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠AOP=30°，OA=

3

a，則易求出OA′=OA-AA′=

2

a，即可得到△A′OB′為等腰直角三角形，得到∠A′B′O=45°，則∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．

解答：解：連接OP、OP′，如圖，
∵ON⊥OM，P為AB中點(diǎn)，
∴OP=

1

2

AB=

1

2

A′B′=OP′，
∵AB=2a
∴OP=a，
當(dāng)A端下滑B端右滑時(shí)，AB的中點(diǎn)P到O的距離始終為定長(zhǎng)a，
∴P是隨之運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路線是一段圓弧，
∵∠ABO=60°，
∴∠AOP=30°，OA=

3

a，
∵AA′=（

3

-

2

）a，OA′=OA-AA′=

2

a，
∴sin∠A′B′O=

OA′

A′B′

=

2

2

，
∴∠A′B′O=45°，
∴∠A′OP=45°，
∴∠POP′=∠A′OP′-∠AOP=15°，
∴弧PP′的長(zhǎng)=

15•π•a

180

=

1

12

πa，
即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P′所經(jīng)過路線PP′的長(zhǎng)為

1

12

πa．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式：l=

nπR

180

（n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，R為半徑），也考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)，難度一般．