Question

如圖，已知直線y=2x+6交y軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B是這條直線上的一點(diǎn)，并且位于第一象限，點(diǎn)P是直線x=8上的一動點(diǎn)，若△APB是等腰直角三角形，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰三角形的判定,一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：分三種情況考慮：如圖1所示，當(dāng)∠BAP=90°時，AB=PA，作BE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠BEA=∠AFP=90°，再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形APF全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的長，即為B的縱坐標(biāo)，代入直線解析式求出D的橫坐標(biāo)，即可確定出D的坐標(biāo)；如圖2所示，當(dāng)∠APB=90°時，AP=PB，作BE⊥直線x=8于E點(diǎn)，作PF⊥直線x=8于F點(diǎn)，可得∠BEP=∠AFP=90°，同理可證△PBE≌△PAF，得出AF=EP，PF=BE，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），表示出B點(diǎn)坐標(biāo)為（14-m，m+8），列出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可確定出B點(diǎn)坐標(biāo)；如圖3所示，當(dāng)∠ABP=90°時，AB=PB，作BE∥x軸交y軸于E點(diǎn)，交直線x=8于F點(diǎn)，可得∠BEA=∠BFP=90°，同理可證△ABE≌△BPF，得出AE=BF，BE=PF，設(shè)點(diǎn)B（x，2x+6），則PF=x，BF=AE=8-x，列出關(guān)于x的方程，求出x的值，即可確定出B點(diǎn)坐標(biāo)，綜上，得到所有滿足題意B的坐標(biāo)．

解答：解：如圖1所示，作BE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠BEA=∠AFP=90°，
∵△BAP為等腰直角三角形，
∴AB=AP，∠BAP=90°，
∴∠EAB+∠PAF=90°，∠PAF+∠APF=90°，
∴∠EAB=∠APF，
在△ABE和△PAF中，

∠EAB=∠APF ∠AEB=∠PFA=90° AB=AP

，
∴△ABE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，由14=2x+6，得x=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，14）；

如圖2所示，當(dāng)∠APB=90°時，AP=PB，
作BE⊥直線x=8于E點(diǎn)，作PF⊥直線x=8于F點(diǎn)，可得∠BEP=∠AFP=90°，
同理可證△PBE≌△PAF，
∴AF=EP，PF=BE，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），
則B點(diǎn)坐標(biāo)為（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）+6，得m=

26

3

，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)（

16

3

，

50

3

）；

如圖3所示，當(dāng)∠ABP=90°時，AB=PB，
作BE∥x軸交y軸于E點(diǎn)，交直線x=8于F點(diǎn)，可得∠BEA=∠BFP=90°，
同理可證△ABE≌△BPF，
所以AE=BF，BE=PF，
設(shè)點(diǎn)B（x，2x+6），則PF=x，BF=AE=8-x，
由2x+6-6=8-x，得x=

8

3

，
求得B點(diǎn)坐標(biāo)（

8

3

，

34

3

），
綜上，符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（4，14），（

16

3

，

50

3

），（

8

3

，

34

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，本題第二問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．