Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，∠OAB＝90°且OA＝AB，OB＝8，OC＝5．

（1）求點A的坐標；

（2）點P是從O點出發(fā)，沿X軸正半軸方向以每秒1單位長度的速度運動至點B的一個動點（點P不與點O，B重合），過點P的直線l與y軸平行，交四邊形ABCD的邊AO或AB于點Q，交OC或BC于點R．設(shè)運動時間為t（s），已知t＝3時，直線l恰好經(jīng)過點 C．

求①點P出發(fā)時同時點E也從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點O運動，點P停止時點E也停止．設(shè)△QRE的面積為S，求當(dāng)0＜t＜3時S與t的函數(shù)關(guān)系式；并直接寫出S的最大值．

②是否存在某一時刻t，使得△ORE為直角三角形？若存在，請求出相應(yīng)t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，4）；（2）①，S有最大值為；②t的值為4或.

【解析】

（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題；

（2）①首先求出直線OA、OB、OC、BC的解析式．①求出P、Q的坐標即可解決問題；即可表示出QR和PE的長，即可得到三角形面積解析式利用配方法求出最值即可；

②分三種情況討論，即∠REO＝90°或∠ORE＝90°或∠ROE＝90°分別求解即可．

解：（1）由題意△OAB是等腰直角三角形，

∵OB＝8，即B（8，0）

∴A（4，4），

（2）∵A（4，4），B（8，0），

∴直線OA的解析式為y＝x，直線AB的解析式y＝﹣x+6，

∵t＝3時，直線l恰好過點C，即OP＝3，OC＝5，

∴PR＝4，C（3，﹣4），

∴直線OC的解析式為y＝-x，直線BC的解析式為y＝，

①當(dāng)0＜t＜3時，Q（t，t），R（t，-t），

∴QR=t-(-t)=．PE＝8﹣2t．

∴S＝．

∴t＝2時，S有最大值為．

②要使△ORE為直角三角形，則有三種情況：

Ⅰ．若∠REO＝90°，如圖1，則點P與E點重合，

∴8﹣2t＝0，解得t＝4，

Ⅱ．若∠ORE＝90°，如圖2．△ORP∽△REP，

∴，即RP2＝OPPE，

∴，

解之得：t＝，

Ⅲ．當(dāng)t＞4時，△ORE不可能為直角三角形．

故使得△ORE為直角三角形時，t的值為：4或，