Question

【題目】如圖，已知直線y=x+k和雙曲線y= （k為正整數(shù)）交于A，B兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)k=1時(shí)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=2時(shí)，求△AOB的面積；
（3）當(dāng)k=1時(shí)，△OAB的面積記為S1 ， 當(dāng)k=2時(shí)，△OAB的面積記為S2 ， …，依此類推，當(dāng)k=n時(shí)，△OAB的面積記為Sn ， 若S1+S2+…+Sn= ，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)k=1時(shí)，直線y=x+k和雙曲線y= 化為：y=x+1和y= ，

解 得 ， ，

∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）

（2）解：當(dāng)k=2時(shí)，直線y=x+k和雙曲線y= 化為：y=x+2和y= ，

解 得 ， ，

∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）

設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，

∴

∴ ，

∴直線AB的解析式為：y=x+2

∴直線AB與y軸的交點(diǎn)（0，2），

∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；

（3）解：當(dāng)k=1時(shí)，S1= ×1×（1+2）= ，

當(dāng)k=2時(shí)，S2= ×2×（1+3）=4，

…

當(dāng)k=n時(shí)，Sn= n（1+n+1）= n2+n，

∵S1+S2+…+Sn= ，

∴ ×（ …+n2）+（1+2+3+…n）= ，

整理得： ，

解得：n=6．

【解析】（1）兩圖像的交點(diǎn)就是求聯(lián)立的方程組的解；（2）斜三角形△AOB的面積可轉(zhuǎn)化為兩水平（或豎直）三角形（有一條邊為水平邊或豎直邊的三角形稱為水平或豎直三角形）的面積和或差；（3）利用n個(gè)數(shù)的平方和公式和等差數(shù)列的和公式可求出.