Question

【題目】如圖，已知在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延長CA到O，使AO=AC，以O為圓心，OA長為半徑作⊙O交BA延長線于點D，連接CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵∠BCA=90°，∠B=30°，

∴∠OAD=∠BAC=60°，

∵OD=OA，

∴△OAD是等邊三角形，

∴AD=OA=AC，∠ODA=∠O=60°，

∴∠ADC=∠ACD= ∠OAD=30°，

∴∠ODC=60°+30°=90°，

即OD⊥DC，

∵OD為半徑，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：∵AB=4，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴OD=OA=AC= AB=2，

由勾股定理得：CD= = =2 ，

∴S陰影=S△ODC﹣S扇形AOD= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）證明切線須連半徑，證直線和半徑垂直；（2） 陰影部分的面積可轉化為三角形面積減去扇形面積.
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和勾股定理的概念的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．