Question

Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，D是直線AC上一點(diǎn)，且AD=2，直線l與直線AB關(guān)于直線AC對(duì)稱，過D作DF⊥BC，交直線BC于F，交直線l于E，DF=2DE，則線段AB長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形,軸對(duì)稱的性質(zhì)

專題：分類討論

分析：根據(jù)題意畫出圖形，得出等邊三角形AED，求出DE、DF，設(shè)AB=x，求出AC=2x，推出△CAB∽△CDF，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：如圖所示（1）
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=60°
∵直線AB和直線l關(guān)于直線AC對(duì)稱，∠BAC=60°
∴∠BAC=∠CAN=60°，
∴∠EAD=∠CAN=60°，
∵DF⊥BC，∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠F=90°，
∴AB∥DF，
∴∠D=∠BAC=60°=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△AED是等邊三角形，
∴DE=AD=2，
∴DF=2DE=4，
設(shè)AB=x，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2x，
∵AB∥DF，
∴△CAB∽△CDF，
∴

AB

DF

=

AC

CD

，
∴

x

4

=

2x

2x+2

，
解得：x=0（舍去），x=3．
如圖2，同理可得：AB=5．
故答案為：3或5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含30度角的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出DE和DF 的長，主要考查了學(xué)生的計(jì)算和推理能力．