Question

已知關(guān)于x的二次方程x²-ax+a²-4=0：
（1）有兩正根；（2）兩根異號(hào)；（3）只有一個(gè)正實(shí)數(shù)根；
分別求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，則判別式△≥0，并且兩根的和大于0，且兩根的積大于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于a的不等式組，即可求得a的范圍；
（2）根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則判別式△＞0，兩根的積小于0，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可得到關(guān)于a的不等式組，即可求得k的范圍；
（3）由于關(guān)于x的一元二次方程x²-ax+a-2=0的兩個(gè)根中，只有一個(gè)正根，則△＞0，且x₁•x₂≤0，建立關(guān)于a的不等式，求得a的取值范圍．．

解答：解：（1）設(shè)方程的兩個(gè)正根為x₁、x₂，則：
△=（-a）²-4（a²-4）≥0 ①，
x₁+x₂=-a＞0，x₁x₂=a²-4＞0 ②，
解①，得：-

4

3

3

≤a≤

4

3

3

，
解②，得：a≤-2，
所以a的取值范圍是-

4

3

3

≤a≤-2；

（2）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁、x₂，則：
△=（-a）²-4（a²-4）≥0 ①，
x₁+x₂=a＞0，x₁x₂=a²-4＜0 ②，
解①，得：-

4

3

3

≤a≤

4

3

3

，
解②，得：-2≤a≤2，
所以a的取值范圍是-2≤a≤2；

（3）設(shè)方程的兩個(gè)根為x₁、x₂，則：
△=（-a）²-4（a²-4）＞0 ①，
x₁x₂=a²-4≤0 ②，
解①，得：-

4

3

3

＜a＜

4

3

3

，
解②，得：-2≤a≤2，
所以a的取值范圍是-2≤a≤2；

點(diǎn)評(píng)：此題考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：
（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁•x₂=

c

a

．