Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＜x₂），無(wú)論k為何值時(shí)，猜想△AOB的形狀，證明你的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：當(dāng)k為任意實(shí)數(shù)時(shí)，聯(lián)立

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²=k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．

解答：解：猜想：△AOB為直角三角形．
∵

y=x2 y=kx+1

，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理的逆定理等知識(shí)，有一定難度．