Question

如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，O是斜邊AB的中點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，兩直角邊分別與邊AC、BC交于點(diǎn)E、F，試判斷AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明∠1=∠3，∠A=∠BCO，進(jìn)而證明△AOE≌△COF，即可解決問題．

解答：解：AE=CF．證明如下：
如圖，連接CO．
∵AC=BC，O為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴CO⊥AB，∠BCO=

1

2

∠ACB=45°，CO=

1

2

AB=AO．
∴∠1+∠2=90°；
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3；
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠A=

1

2

×90°=45°．
∴∠A=∠BCO．
在△AOE和△COF中，

∠A=∠BCO AO=CO ∠1=∠3

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．