Question

在?ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點，設∠ABC=α，過點C作直線AB的垂線，垂足為點E，連ME．
（1）如圖①，當α=90°，ME與MC的數量關系是______；∠AEM與∠DME的關系是______；
（2）如圖②，當60°＜α＜90°時，請問：（1）中的兩個結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；
（3）如圖③，當0°＜α＜60°時，請在圖中畫出圖形，ME與MC的數量關系是______；∠AEM與∠DME的關系是______．（直接寫出結論即可，不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據α=90°，?ABCD是矩形，又M為AD的中點，所以可以證明△ABM與△DCM是全等三角形，根據全等三角形對應邊相等即可得到ME=MC；根據三角形外角性質，∠DME-∠AEB=∠A，再根據兩直線平行，同旁內角互補，∠A=180°-α；
（2）點E在線段AB上，過M作MN⊥EC于N，根據M為AD的中點，可得出MN是梯形AECD的中位線，故點N是EC的中點，從而MN是線段EC的垂直平分線，所以ME=MC；先根據兩直線平行，同旁內角互補求出∠A的度數，再根據三角形的外角性質即可得到兩角的關系．
（3）點E在線段BA的延長線上，根據（2）的證明求解方法，同理可解．
解答：（1）ME=MC；∠DME-∠AEM=180°-α．

（2）成立．連CM，過M作MN⊥EC于N，
∵AB⊥CE，MN⊥CE，
∴AB∥MN，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN∥CD，
∵M為AD的中點，
∴MN是梯形AECD的中位線，
∴N是CE的中點，
∵CE⊥AB，
∴MN是△MEC的中線，
∴EM=CM（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）；
在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，
∵AD∥BC，∠ABC=α，
∴∠A=180°-α，
∴∠DME-∠AEM=∠A=180°-α．

（3）EM=MC，∠DME-∠AEM=∠EAM=∠B=α．
點評：本題主要考查平行四邊形的性質和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和的性質以及兩直線平行，同旁內角互補的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵．