Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分別以AB，BC，CA為一邊向△ABC外作正方形ABDE、BCMN，CAFG，連接EF、GM、ND，設(shè)△AEF、△BND、△CGM的面積分別為S1、S2、S3．

（1）猜想S1、S2、S3的大小關(guān)系．

（2）請(qǐng)對(duì)（1）的猜想，任選一個(gè)關(guān)系進(jìn)行證明；

（3）若將圖1中的Rt△ABC改為圖2中的任意△ABC，若SABC＝5，求出S1+S2+S3的值；

（4）若將圖2中的任意△ABC改為任意凸四邊形ABCD，若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝α，則四邊形ABCD的面積為　 　（直接用含α的代數(shù)式表示結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）S1＝S2＝S3（2）見(jiàn)解析（3）15（4）a

【解析】

（1）猜想三個(gè)三角形面積相等；
（2）證明三個(gè)三角形都與△ABC面積相等．觀(guān)察圖形，要證明面積相等，圖中正方形提供了一組相等的邊作為底，只要證明高相等即可；
（3）證明思路同（2），S1、S2、S3面積都等于△ABC問(wèn)題可求；
（4）作四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)，可以以利用（3）中結(jié)論，△AEG、△CNK、△IBH、△DFM的面積可以分別于四邊形ABCD被對(duì)角線(xiàn)分割所得的三角形對(duì)應(yīng)相等，則問(wèn)題可證．

（1）猜想：S1＝S2＝S3

（2）如圖1，延長(zhǎng)FA，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥FA于H，

由已知：∠BAE＝∠CAH＝90°，

∴∠CAB＝∠HAE.

∵∠ACB＝∠AHE＝90°，AE＝AB，

∴△HAE≌△CAB，

∴EH＝BC，

∴S△AEF＝＝＝S△ABC，

∴S1＝S△ABC，

同理：S2＝S△ABC，S3＝S△ABC，

∴S1＝S2＝S3

（3）如圖2

分別過(guò)點(diǎn)G和A作GQ⊥MC于Q，AP⊥BC于P，

由已知：∠GCA＝∠QCB＝90°，

∴∠GCQ＝∠ACP.

又∵∠GQC＝∠APC＝90°，

GC＝AC，

∴△GCQ≌△ACP，

∴GQ＝AP，

∵S△GCM＝,

S△ABC＝，

MC＝BC，

∴S△GCM＝S△ABC，

∴S3＝S△ABC，

同理：S1＝S△ABC，

S2＝S△ABC，

∴S1＝S2＝S3＝S△ABC，

∵SABC＝5，

∴S1+S2+S3＝15；

（4）如圖3，連AC，

由（3）可知，S△DFM＝S△ADC，

S△IBH＝S△ABC，

∴S△DFM+S△IBH＝S△ADC+S△ABC＝S四邊形ABCD，

同理：S△AEG+S△CNK＝S四邊形ABCD，

∴S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝2S四邊形ABCD，

∵S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝α，

∴2S四邊形ABCD＝α，

∴四邊形ABCD的面積為，

故答案為：