【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G,CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)H,連接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)線段AC,AG,AH什么關(guān)系?請(qǐng)說明理由;
(3)設(shè)AE=m,
①△AGH的面積S有變化嗎?如果變化.請(qǐng)求出S與m的函數(shù)關(guān)系式;如果不變化,請(qǐng)求出定值.
②請(qǐng)直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值.
【答案】(1)=;(2)結(jié)論:AC2=AGAH.理由見解析;(3)①△AGH的面積不變.②m的值為或3或12﹣6..
【解析】
(1)證明∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,即可推出∠AHC=∠ACG;
(2)結(jié)論:AC2=AGAH.只要證明△AHC∽△ACG即可解決問題;
(3)①△AGH的面積不變.理由三角形的面積公式計(jì)算即可;
②分三種情形分別求解即可解決問題.
(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°,
∴AC=,
∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,
∴∠AHC=∠ACG.
故答案為=.
(2)結(jié)論:AC2=AGAH.
理由:∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°,
∴△AHC∽△ACG,
∴,
∴AC2=AGAH.
(3)①△AGH的面積不變.
理由:∵S△AGH=AHAG=AC2=×(4)2=16.
∴△AGH的面積為16.
②如圖1中,當(dāng)GC=GH時(shí),易證△AHG≌△BGC,
可得AG=BC=4,AH=BG=8,
∵BC∥AH,
∴,
∴AE=AB=.
如圖2中,當(dāng)CH=HG時(shí),
易證AH=BC=4,
∵BC∥AH,
∴=1,
∴AE=BE=3.
如圖3中,當(dāng)CG=CH時(shí),易證∠ECB=∠DCF=22.5.
在BC上取一點(diǎn)M,使得BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∵∠BME=∠MCE+∠MEC,
∴∠MCE=∠MEC=22.5°,
∴CM=EM,設(shè)BM=BE=m,則CM=EMm,
∴m+m=6,
∴m=6(﹣1),
∴AE=6﹣6(﹣1)=12﹣6,
綜上所述,滿足條件的m的值為或3或12﹣6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】善于不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法的小迪發(fā)現(xiàn),對(duì)解題進(jìn)行回顧反思,學(xué)習(xí)效果更好.某一天小迪有20分鐘時(shí)間可用于學(xué)習(xí).假設(shè)小迪用于解題的時(shí)間(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖1所示,用于回顧反思的時(shí)間(單位:分鐘)與學(xué)習(xí)收益的關(guān)系如圖2所示(其中是拋物線的一部分,為拋物線的頂點(diǎn)),且用于回顧反思的時(shí)間不超過用于解題的時(shí)間.
(1)求小迪解題的學(xué)習(xí)收益量與用于解題的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求小迪回顧反思的學(xué)習(xí)收益量與用于回顧反思的時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)問小迪如何分配解題和回顧反思的時(shí)間,才能使這20分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC為直徑作☉O交AB于點(diǎn)D.
(1)求線段AD的長度;
(2)點(diǎn)E是線段AC上的一點(diǎn),試問當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí),直線ED與☉O相切?請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),其對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)C,它的頂點(diǎn)為點(diǎn)D.
(1)寫出點(diǎn)D的坐標(biāo) .
(2)點(diǎn)P在對(duì)稱軸l上,位于點(diǎn)C上方,且CP=2CD,以P為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)A.
①試說明二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)B;
②點(diǎn)R在二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象上,到x軸的距離為d,當(dāng)點(diǎn)R的坐標(biāo)為 時(shí),二次函數(shù)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象上有且只有三個(gè)點(diǎn)到x軸的距離等于2d;
③如圖2,已知0<m<2,過點(diǎn)M(0,m)作x軸的平行線,分別交二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)y2=ax2+bx+c(a≠0)的圖象于點(diǎn)E、F、G、H(點(diǎn)E、G在對(duì)稱軸l左側(cè)),過點(diǎn)H作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)N,交二次函數(shù)y1=(x﹣2)(x﹣4)的圖象于點(diǎn)Q,若△GHN∽△EHQ,求實(shí)數(shù)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,已知P(1,1),C為y軸正半軸上一點(diǎn),D為第一象限內(nèi)一點(diǎn),且PC=PD,∠CPD=90°,過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸于B,直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A,且BD=3AD,連接CD,直線CD與直線y=x交于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形,△ABC的頂
點(diǎn)都在格點(diǎn)上,建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
(2)將△ABC向左平移7個(gè)單位,請(qǐng)畫出平移后的△A1B1C1.若M為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),其坐標(biāo)為(a,b),則平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為 .
(3)以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小,使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對(duì)應(yīng)邊的比為1∶2.請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,我校本部教師樓AD上有“育才中學(xué)”四個(gè)字的展示牌DE,某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備利用所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)估測(cè)該教師樓的高度,由于場地有限,不便測(cè)量,所以小明沿坡度i=:1的階梯從看臺(tái)前的B處前行50米到達(dá)C處,測(cè)得展示牌底部D的仰角為45°,展示牌頂部E的仰角為53°(小明的身高忽略不計(jì)),已知展示牌高DE=15米,則該教師樓AD的高度約為( 。┟祝▍⒖紨(shù)據(jù):Sin37°≈0,6,cos 37°≈0,8,tan37°≈0.75,≈1.7)
A. 102.5B. 87.5C. 85D. 70
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正五邊形ABCDE中,DC和AB的延長線交于F,則圖中與△DBF相似的三角形有(不再添加其他的線段和字母,不包括△DBF本身) ( )
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題10分)如圖,直線y=x+m和拋物線y=+bx+c都經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),
B(3,2).
(1)求m的值和拋物線的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接寫出答案)
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