Question

【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC交O于點D,E是弧CD的中點，連接AE交BC于點F，∠ABC=2∠EAC.

(1)求證：AB是⊙O的切線；

(2)若 tanB=，BD=6，求CF的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CF的長為．

【解析】

（1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理，由E是的中點，得到∠EAC=∠EAD，由于∠ABC=2∠EAC，則∠ABC=∠DAC，再利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則∠DAC+∠ACB=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得到AB是⊙O的切線；

（2）作FH⊥AC于H，如圖，利用余弦定義，在Rt△ABD中可計算出AD=8，利用勾股定理求得AB=10，在Rt△ACB中可計算出AC=，根據(jù)勾股定理求得BC=，則，CD=BC-BD=，接著根據(jù)角平分線性質(zhì)得FD=FH，于是設(shè)CF=x，則DF=FH=-x，然后利用平行線得性質(zhì)由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosB=，再利用比例性質(zhì)可求出CF．

（1）證明：連接AD,

∵AC是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90°，

∵E是的中點，∴∠EAC=∠EAD，∴∠DAC=2∠EAC，

∵∠ABC=2∠EAC，∴∠ABC=∠DAC，∴∠ABC+∠C=90°，

∴∠BAC=90°，∴CA⊥AB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）作FH⊥AC于H，如圖，

在Rt△ABD中，∵tanB=，BD=6，

∴AD=8，

∴AB==10，

在Rt△ACB中，∵tanB=，

∴AC=，

∴BC=，

∴CD=BC-BD=，

∵∠EAC=∠EAD，即AF平分∠CAD，

而FD⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，

∴FD=FH，

設(shè)CF=x，則DF=FH=-x，

∵FH∥AC，

∴∠HFC=∠B，

在Rt△CFH中，∵tan∠CFH=tanB==，

∴，解得x=，

即CF的長為．