Question

【題目】如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：

①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；&

②點(diǎn)O與O′的距離為4；

③∠AOB=150°；

④四邊形AOBO′的面積為6＋3 ；

⑤S△AOC＋S△AOB=6＋.

其中正確的結(jié)論是_______________．

Answer 1

【答案】①②③⑤.

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；

由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O′′點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉(zhuǎn)化為S△COO″+S△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．

由題意可知,∠1+∠2=∠3+∠2=60°，

∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

在△BO′A和△BOC中，

，

∴△BO′A≌△BOC(SAS)，

又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接OO′，

∵OB=O′B,且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4.

故結(jié)論②正確；

∵△BO′A≌△BOC,∴O′A=5.

在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，

∴△AOO′是直角三角形,∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結(jié)論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故結(jié)論④錯(cuò)誤；

如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O′′點(diǎn).

易知△AOO′′是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO′′是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，

則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO'=S△COO'+S△AOO'=×3×4+×32=6+，

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤.

故答案為：①②③⑤.