【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),點(diǎn)M,N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MD∥y軸,交直線BC于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)過(guò)點(diǎn)N作NF⊥x軸,垂足為點(diǎn)F,若四邊形MNFE為正方形(此處限定點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)),求該正方形的面積;
(3)若∠DMN=90°,MD=MN,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)正方形的面積為24+8或24-8;(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)在拋物線圖像上,將點(diǎn)代入解析式,待定系數(shù)法解題,
(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),分別表示出ME=|-m2+2m+3|,MN=2m-2,由四邊形MNFE為正方形得ME=MN,列方程,分類(lèi)討論即可求解,
(3)先求出直線BC解析式,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,-a2+2a+3),表示出點(diǎn)N和點(diǎn)D坐標(biāo),由MD=MN,列方程,分類(lèi)討論即可求解.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+3過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),
∴,
解得:,
∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3;
(2)由(1)知,拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-=1,
如圖,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m,-m2+2m+3),
∴ME=|-m2+2m+3|,
∵M(jìn)、N關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng),且點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為2-m,
∴MN=2m-2,
∵四邊形MNFE為正方形,
∴ME=MN,
∴|-m2+2m+3|=2m-2,
分兩種情況:
①當(dāng)-m2+2m+3=2m-2時(shí),解得:m1=、m2=-(不符合題意,舍去),
當(dāng)m=時(shí),正方形的面積為(2-2)2=24-8;
②當(dāng)-m2+2m+3=2-2m時(shí),解得:m3=2+,m4=2-(不符合題意,舍去),
當(dāng)m=2+時(shí),正方形的面積為[2(2+)-2]2=24+8;
綜上所述,正方形的面積為24+8或24-8.
(3)設(shè)BC所在直線解析式為y=kx+b,
把點(diǎn)B(3,0)、C(0,3)代入表達(dá)式,得:
,解得:,
∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+3,
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,-a2+2a+3),則點(diǎn)N(2-a,-a2+2a+3),點(diǎn)D(a,-a+3),
①點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),即a>1,
則|-a+3-(-a2+2a+3)|=a-(2-a),即|a2-3a|=2a-2,
若a2-3a≥0,即a≤0或a≥3,a2-3a=2a-2,
解得:a=或a=<1(舍去);
若a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2-2a,
解得:a=-1(舍去)或a=2;
②點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè),即a<1,
則|-a+3-(-a2+2a+3)|=2-a-a,即|a2-3a|=2-2a,
若a2-3a≥0,即a≤0或a≥3,a2-3a=2-2a,
解得:a=-1或a=2(舍);
若a2-3a<0,即0<a<3,a2-3a=2a-2,
解得:a=(舍去)或a=;
綜上,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,)或(2,3)或(-1,0)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AC是⊙O的直徑,BC交O于點(diǎn)D,E是弧CD的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,∠ABC=2∠EAC.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)若 tanB=,BD=6,求CF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有下列問(wèn)題:“今有勾五步,股十二步,問(wèn)勾中容方幾何?”其意思為“今有直角三角形,勾(短直角邊)長(zhǎng)為5步,股(長(zhǎng)直角邊)長(zhǎng)為12步,問(wèn)該直角三角形能容納的正方形邊長(zhǎng)最大是多少步?”該問(wèn)題的答案是________步.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】春節(jié)期間,某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品,已知購(gòu)進(jìn)甲商品2件和乙商品3件共需270元;購(gòu)進(jìn)甲商品3件和乙商品2件共需230元.
(1)求甲、乙兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場(chǎng)決定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,為滿(mǎn)足市場(chǎng)需求,需購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共100件,且甲種商品的數(shù)量不少于乙種商品數(shù)量的4倍,請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并確定最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn),連接DO并延長(zhǎng),交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD,EC.
(1)求證:四邊形BECD是平行四邊形;
(2)若∠A=50°,則當(dāng)∠BOD= ______ °時(shí),四邊形BECD是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問(wèn)題:尺規(guī)作圖:作已知角的角平分線.已知:如圖,∠BAC.求作:∠BAC的角平分線AP.
小欣的作法如下:
(1)如圖,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O;
(2)以點(diǎn)O為圓心,AO為半徑作圓,交射線AB于點(diǎn)D,交射線AC于點(diǎn)E;
(3)連接DE,過(guò)點(diǎn)O作射線OP垂直于線段DE,交⊙O于點(diǎn)P;
(4)過(guò)點(diǎn)P作射線AP.
所以射線AP為所求
根據(jù)小欣設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵OPDE
∴ =______(________________________)(填推理的依據(jù)),
∴∠BAP=______ (________________________)(填推理的依據(jù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A,B,C三點(diǎn)在⊙O上,直徑BD平分∠ABC,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交弦BC于點(diǎn)E,在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使得EFDE.
(1)求證:DF是⊙O的切線;
(2)連接AF交DE于點(diǎn)M,若 AD4,DE5,求DM的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y1=﹣2x2+2,直線y2=2x+2,當(dāng)x任取一值時(shí),x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為y1、y2.若y1≠y2,取y1、y2中的較小值記為M;若y1=y2,記M=y1=y2.例如:當(dāng)x=1時(shí),y1=0,y2=4,y1<y2,此時(shí)M=0.下列判斷:
①當(dāng)x>0時(shí),y1>y2; ②當(dāng)x<0時(shí),x值越大,M值越小;
③使得M大于2的x值不存在; ④使得M=1的x值是或.
其中正確的是( 。
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn),且BC=2AF。
(1)求證:四邊形ADEF為矩形;
(2)若∠C=30°、AF=2,寫(xiě)出矩形ADEF的周長(zhǎng)。
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