Question

【題目】已知拋物線的對稱軸與軸的交點橫坐標(biāo)是分式方程的解，若拋物線與軸的一個交點為，與軸的交點

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點坐標(biāo)為，連結(jié)，若點是線段上的一個動點，求的最小值．

（3）連結(jié)過點作軸的垂線在第三象限中的拋物線上取點過點作直線的垂線交直線于點，過點作軸的平行線交于點，已知．

①求點的坐標(biāo)；

②在拋物線上是否存在一點，使得成立？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為；②點的坐標(biāo)為

【解析】

（1）通過解方程求出拋物線對稱軸的橫坐標(biāo)，得出，再代入點坐標(biāo)即可；

（2）作點關(guān)于直線的對稱點過點作軸交與點、交軸與點，在圖示的位置時，有最小值，即可求解；

（3）①，則，即：，求解即可；②求出HP所在的直線表達式與二次函數(shù)聯(lián)立，求得交點即可．

解：（1）拋物線對稱軸與軸交點橫坐標(biāo)是的解，

拋物線對稱軸為，

拋物線過點

，

拋物線的解析式為

（2）作點關(guān)于直線的對稱點過點作軸交與點、交軸與點

，

則，

，

在圖示的位置時，，

此時為最小值，長度為，

，，

，

在中，，

即的最小值為；

（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，

直線表達式的值為，

則直線表達式的值為，

設(shè)直線的表達式為:

將點坐標(biāo)代入上式并解得:，

則點的坐標(biāo)為，

點的坐標(biāo)為

過點作軸的平行線交直線于點過點作軸平行線交過點作軸的平行線于點

，

，

則，

即:

，

即:，

解得:或(舍去)

故點坐標(biāo)為

點坐標(biāo)為；

過點作軸的平行線交直線于點、交軸于點，作于點，

則:

則，，

設(shè):

則

則，

過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，延長交于點，過點作

則:，

即四邊形為正方形，

，

設(shè):，

，，

則

即點坐標(biāo)為，

則所在的直線表達式為:，

聯(lián)立并解得:或(舍去)，

故點的坐標(biāo)為．