Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=2BC=2，作內(nèi)接正方形A₁B₁D₁C；在Rt△AA₁B₁中，作內(nèi)接正方形A₂B₂D₂A₁；在Rt△AA₂B₂中，作內(nèi)接正方形A₃B₃D₃A₂；…；依次作下去，則第1個正方形A₁B₁D₁C的邊長是

 

，第n個正方形A_nB_nD_nA_n-1的邊長是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：設正方形A₁B₁D₁C的邊長為x，根據(jù)正方形性質(zhì)得出邊相等，得出對邊平行，根據(jù)相似三角形的判定得出相似三角形，得出比例式，求出正方形的邊長，依次求出每個正方形的邊長，根據(jù)求出的結(jié)果得出即可．

解答：解：設正方形A₁B₁D₁C的邊長為x，
∵四邊形A₁B₁D₁C是正方形，
∴A₁B₁∥CB，
∴△ACB∽△AA₁B₁，
∴

AC

BC

=

AA1

A1B1

=

2BC

BC

=2，

AC

AA1

=

BC

A1B1

，
∴

2

2-x

=

1

x

，
解得：x=

2

3

，
即A₁B₁=

2

3

，AA₁=2A₁B₁=

4

3

，
設正方形A₂B₂D₂C₁的邊長為y，
∵四邊形A₂B₂D₂C₁是正方形，
∴A₂B₂∥A₁B₁，
∴△AA₁B₁∽△AA₂B₂，
∴

AA1

AA2

=

A1B1

A2B2

，
∴

4 3

4 3 -y

=

2 3

y

，
解得：y=

4

9

=

22

32

，
即A₂B₂=

22

32

，
…，
∴第n個正方形A_nB_nD_nA_n-1的邊長是

2n

3n

，
故答案為

2

3

，

2n

3n

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，有一定的難度．