Question

如圖，直線AB分別與兩坐標(biāo)軸交于點A（8，0）、B（0，6）．
（1）求直線AB的解析式；
（2）在線段AB上有一個點P，過點P分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點E、F，若矩形OEPF的面積為9，求點P的坐標(biāo)；
（3）在第一象限內(nèi)是否存在點Q，使△QOB與△BOA相似？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x+6），根據(jù)矩形的面積公式即可求得；
（3）分四種情況分別討論即可求得．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∵點A（8，0）、B（0，6），
∴

8k+b=0 b=6

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，-

3

4

x+6），
則S_矩形OEPF=OE•OF=x•（-

3

4

x+6）=9，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴點P（2，

9

2

）或（6，

3

2

）；

（3）①當(dāng)△OBQ₁∽△BOA時，則∠OBQ₁=∠BOA=90°，
∴BQ₁∥OA，BQ₁=OA，
∴Q₁（8，6），
②當(dāng)△Q₂BO∽△BOA時，則∠OBQ₂=∠BOA=90°，
∴BQ₂∥OA，

BQ2

OB

=

OB

OA

，
∴BQ₂=

6×6

8

=

9

2

，
∴Q₂（

9

2

，6）；
③當(dāng)△BQ₃O∽△BOA時，則∠OBQ₂=∠BOA=90°，∠OBQ₃=∠AOB，
∴Q₃在AB上，

BQ3

OB

=

OB

AB

，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=

OA2+OB2

=10，
∴BQ₃=

6×6

10

=

18

5

，
設(shè)Q₃的坐標(biāo)為（m，n）
∴

6-n

6

=

m

8

=

18 5

10

，解得，m=

72

5

，n=

96

25

，
∴Q₃（

72

25

，

96

25

）；
④當(dāng)△OQ₄B∽△BOA時，則∠OQ₄B=∠BOA=90°，
作Q₄的橫坐標(biāo)=Q₃的橫坐標(biāo)=

72

25

，Q₄的縱坐標(biāo)=6-n=

54

25

；
∴Q₄（

72

25

，

54

25

）；
綜上，Q點的坐標(biāo)為（8，6）或（

9

2

，6）或（

72

25

，

96

25

）或（

72

25

，

54

25

）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，矩形的面積的求法，三角形相似的性質(zhì)等；熟練掌握和運用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．