【題目】如圖,二次函數(shù)y=+bx﹣的圖象與x軸交于點A(﹣3,0)和點B,以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD,點P是x軸上一動點,連接DP,過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

(1)b= ;點D的坐標: ;

(2)線段AO上是否存在點P(點P不與A、O重合),使得OE的長為1;

(3)在x軸負半軸上是否存在這樣的點P,使PED是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標及此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)1;(﹣3,4);(2)線段AO上不存在點P(點P不與A、O重合),使得OE的長為1 ;(3).

【解析】

試題分析:(1)利用點在二次函數(shù)圖象上,代入即可求得b,將二次函數(shù)換成交點式,即能得出B點的坐標,由AD=AB可算出D點坐標;

(2)假設(shè)存在,由DPAE,找出EPO=PDA,利用等角的正切相等,可得出一個關(guān)于OP長度的一元二次方程,由方程無解可得知不存在這樣的點;

(3)利用角和邊的關(guān)系,找到全等,再利用三角形相似,借助相似比即可求得AM,求出ADM的面積即是所求.

試題解析:(1)點A(﹣3,0)在二次函數(shù)y=+bx﹣的圖象上,

0=﹣3b﹣,解得b=1,

二次函數(shù)解析式為y=+x﹣=(x+3)(x﹣1),

點B(1,0),AB=1﹣(﹣3)=4,

四邊形ABCD為正方形,

AD=AB=4,

點D(﹣3,4),

故答案為:1;(﹣3,4).

(2)直線PE交y軸于點E,如圖1,

假設(shè)存在點P,使得OE的長為1,設(shè)OP=a,則AP=3﹣a,

DPAE,APD+DPE+EPO=180°,

∴∠EPO=90°﹣APD=ADP,

tanADP==,tanEPO==,

=,即3a+4=0,

=﹣4×4=﹣7<0,無解,

故線段AO上不存在點P(點P不與A、O重合),使得OE的長為1.

(3)假設(shè)存在這樣的點P,DE交x軸于點M,如圖2,

∵△PED是等腰三角形,

DP=PE,

DPPE,四邊形ABCD為正方形

∴∠EPO+APD=90°,DAP=90°,PAD+APD=90°,

∴∠EPO=PDA,PEO=DPA,

PEO和DAP中,

EPO=PDA,DP=PE,PEO=DPA,

∴△PEO≌△DAP,

PO=DA=4,OE=AP=PO﹣AO=4﹣3=1,

點P坐標為(﹣4,0).

DAx軸,

DAEO,

∴∠ADM=OEM(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

∵∠AMD=OME(對頂角),

∴△DAMEOM,

,

OM+MA=OA=3,

MA=×3=,

PED與正方形ABCD重疊部分ADM面積為×AD×AM=×4×=

答:存在這樣的點P,點P的坐標為(﹣4,1),此時PED與正方形ABCD重疊部分的面積為

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2)如圖2,AP、CP分別平分BADBCD,若ABC=36°,ADC=16°,

P的度數(shù);

【問題探究】

3)如圖3,直線AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE,若ABC=36°ADC=16°,請猜想P的度數(shù),并說明理由.

【拓展延伸】

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