Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=4cm，M，N兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD邊上沿逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，其中有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

 

秒時(shí)，△MBN為等腰三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：壓軸題,動(dòng)點(diǎn)型

分析：分①點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在BC上時(shí)，BM=BN，列出方程其解即可，②點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在CD上時(shí)，表示出BM、CM、CN，再根據(jù)勾股定理列式表示出MN²，然后根據(jù)BM=MN列出方程其解即可；③點(diǎn)M、N都在C、D上時(shí)，表示出MN、CM，再根據(jù)勾股定理分兩種情況列式表示出BM（或BN），然后根據(jù)BM=MN（或BN=MN）列出方程求解即可，④點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，CN=

1

2

BM，然后列式求解即可．

解答：解：①如圖1，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在BC上時(shí)，t＜4，BM=10-2t，BN=t，
∵BM=BN，
∴10-2t=t，
解得t=

10

3

，
②如圖2，點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在CD上時(shí)，5＜t＜7，BM=2t-10，CM=4-（2t-10）=14-2t，
CN=t-4，
在Rt△MCN中，MN²=（14-2t）²+（t-4）²，
∵BM=MN，
∴（2t-10）²=（14-2t）²+（t-4）²，
整理得，t²-24t+112=0，
解得t₁=12-4

2

，t₂=12+4

2

（舍去），
③如圖3，點(diǎn)M、N都在C、D上時(shí)，t＞7，若點(diǎn)M在點(diǎn)N的右邊，則CM=2t-14，MN=t-（2t-14）=14-2t，
此時(shí)BM²=（2t-14）²+4²，
∵BM=MN，
∴（2t-14）²+4²=（14-2t）²，無解，
若點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊，則CN=t-4，
MN=（2t-14）-（t-4）=t-10，
此時(shí)BN²=（t-4）²+4²，
∵BN=MN，
∴（t-4）²+4²=（t-10）²，
整理得，t=

17

3

（不符合題意，舍去），
④如圖④，點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上時(shí)，BM=10-2t，CN=t-4，
由等腰三角形三線合一的性質(zhì)，CN=

1

2

BM，
所以，t-4=

1

2

（10-2t），
解得t=

9

2

，
綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

10

3

或（12-4

2

）或

9

2

秒時(shí)，△MBN為等腰三角形．
故答案為：

10

3

或（12-4

2

）或

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于要分情況討論．