Question

【題目】已知點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上．

（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求出的值；

（Ⅱ）求點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，并在軸上找一點(diǎn)，使得最短，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）平移拋物線，記平移后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上的定點(diǎn)．

①當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，最短，求此時(shí)拋物線的解析式；

②是軸上的定點(diǎn)，當(dāng)拋物線向左平移到某個(gè)位置時(shí)，四邊形的周長最短，求此時(shí)拋物線的解析式（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】（Ⅰ），頂點(diǎn)坐標(biāo)為，；（Ⅱ）的坐標(biāo)是；（Ⅲ）①；②．

【解析】

（Ⅰ）把(-4，8)代入y=ax2可求得a的值，把x=2代入所求的拋物線解析式，可得n的值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得定點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）由點(diǎn)的坐標(biāo)，得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接AP交x軸于點(diǎn)Q，此時(shí)最短，用待定系數(shù)法求出直線AP的解析式，求得AP與x軸的交點(diǎn)即為Q的坐標(biāo)；

（Ⅲ）①A′C+CB′最短，說明拋物線向左平移了線段CQ的距離，根據(jù)平移的規(guī)律即可求出平移后的解析式；

②設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b，2)，點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)，用含b的代數(shù)式表示出直線A′′B′′的解析式，將點(diǎn)D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，求出b即可．

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)在拋物線上，

得，解得，

∴該拋物線的解析式為，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵點(diǎn)在拋物線上，

得．

（Ⅱ）由點(diǎn)的坐標(biāo)，得點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．連接AP交x軸于點(diǎn)Q，此時(shí)最短，

設(shè)直線的解析式為，

則解得

∴直線的解析式是．

令，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短” 此時(shí)點(diǎn)滿足題意．

（Ⅲ）①，

故將拋物線向左平移個(gè)單位長度時(shí)，最短．

此時(shí)拋物線的解析式為．

②∵線段A′B′和CD的長是定值，

∴要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短；

設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，

則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．

∵CD=2，

∴將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短，

點(diǎn)A′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)，

設(shè)直線A′′B′′的解析式為y=mx+n，

則，

∴m=，n=b+2，

∴直線A′′B′′的解析式為y=x+b+2．

要使A′D+DB′′最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A′′B′′上，

將點(diǎn)D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，

-10+b+2=0，

解得b=，

∴將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，

此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為y=(x+)2．