Question

【題目】問題提出：

（1）如圖1，在四邊形中，已知：，，，的面積為8，求邊上的高．

問題探究

（2）如圖2在（1）的條件下，點是邊上一點，且，，連接，求的面積

問題解決

（3）如圖3，在（1）的條件下，點是邊上任意一點，連接、，若，的面積是否存在最小值；若存在，求出最小值；若不存在；請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）存在，最小值為

【解析】

（1）作BC邊上的高AM，利用三角形面積公式即可求解；

（2）延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，易得四邊形BCDF為矩形，在（1）的條件下BC=CD=4，則BCDF為正方形，由，結(jié)合∠FAB=∠CBA可得∠FAB=∠EAB，從而推出BF=BH=4，易證Rt△BCE≌Rt△BHE，所以EH=CE=2，設(shè)AD＝a，則AF=AH=4-a，在Rt△ADE中利用勾股定理建立方程可求出a，最后根據(jù)S△ABE=即可求解；

（3）輔助線同（2），設(shè)AD=a，CE=m，則DE=4-m，同（2）可得出m與a的關(guān)系式，設(shè)△ABE的面積為y，由y=得到m與y的關(guān)系式，再求y的最小值即可．

（1）如圖所示，作BC邊上的高AM，

∵S△ABC=

∴

即BC邊上的高為4；

（2）如圖所示，延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，

∵，

∴∠BCD=∠D=90°=∠F

∴四邊形BCDF為矩形，

又∵BC=CD=4

∴四邊形BCDF為正方形，

∴DF=BF=BC=4，

又∵AD∥BC

∴∠FAB=∠CBA

又∵∠EAB=∠CBA

∴∠FAB=∠EAB

∵BF⊥AF，BH⊥AE

∴BH=BF=4，

在Rt△BCE和Rt△BHE中，

∵BE=BE，BH=BC=4

∴Rt△BCE≌Rt△BHE（HL）

∴EH=CE=2

同理可證Rt△BAF≌Rt△BAH（HL）

∴AF=AH

設(shè)AD=a，則AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD=a，DE=2，AE=AH+EH=4-a+2=6-a

由勾股定理得AD2+DE2=AE2，即

解得

∴AE=6-a=

S△ABE=

（3）存在，

如圖所示，延長DA，過B點作BF⊥DA于點F，作BH⊥AE于點H，

同（2）可得CE=EH，AF=AH，

設(shè)AD=a，CE=EH=m，則DE=4-m，AF=AH=4-a

在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，即

整理得

∴AE=AH+HE=

設(shè)△ABE的面積為y，

則y=

∴

整理得：

∵方程必有實數(shù)根

∴

整理得

∴（注：利用求根公式進(jìn)行因式分解）

又∵面積y≥0

∴

即△ABE的面積最小值為．