Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

2

x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，直線y=kx+8與直線AB相交于點(diǎn)D，與x軸相交于點(diǎn)C，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E（2，0），點(diǎn)P（t，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）分別求線段OB，OC的長；
（2）過P作x軸的垂線，交直線AB于點(diǎn)Q，過Q作x軸的平行線交直線CD于點(diǎn)M，設(shè)線段QM的長為y，當(dāng)-6＜t＜4時(shí)，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）若點(diǎn)T為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以O(shè)，B，T為頂點(diǎn)的三角形與以O(shè)，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，求相應(yīng)的點(diǎn)P（t＜0）的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值，即OB的長度，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值；
（2）分類討論：-6＜t≤2，2＜t＜2，根據(jù)QM∥x軸，可得Q、M的縱坐標(biāo)相等，根據(jù)大的橫坐標(biāo)減小的橫坐標(biāo)，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)C與T重合時(shí)，可得△P₁OB∽△TOB，△P₂OB∽△BOT，②當(dāng)C與T不重合時(shí)，△P₁OB∽△TOB，△P₄OB∽△OBT，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，B（0，3）
即OB=3，
D作DE⊥x軸于點(diǎn)E（2，0），得
D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=

1

2

×2+3=4，即D點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4），
直線CD y=kx+8經(jīng)過D（2，4），得
2k+8=4，
解得k=-2，
直線CD的解析式是y=-2x+8，
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+8=0，解得x=4，
即OC=4；
（2）如圖1：
，
①當(dāng)-6＜x≤2時(shí)，當(dāng)x=t時(shí)，y=

1

2

t+3，Q（t，

1

2

t+3），
QE∥x軸，E點(diǎn)縱坐標(biāo)是

1

2

t+3，
當(dāng)y=

1

2

t+3時(shí)，

1

2

t+3=-2x+8，解得x=-

5

4

t+

5

2

，
E點(diǎn)的坐標(biāo)是（-

5

4

t+

5

2

，

1

2

t+3），
y=-

9

4

+

5

2

；
如圖2：

②當(dāng)2≤t＜4時(shí)，當(dāng)x=t時(shí)，y=

1

2

t+3，Q（t，

1

2

t+3），
QE∥x軸，E點(diǎn)縱坐標(biāo)是

1

2

t+3，
當(dāng)y=

1

2

t+3時(shí)，

1

2

t+3=-2x+8，
解得x=-

5

4

t+

5

2

，
E點(diǎn)的坐標(biāo)是（-

5

4

t+

5

2

，

1

2

t+3），
y=t-（-

5

4

t+

5

2

）=

9

4

t-

5

2

，
綜上所述：當(dāng)-6≤x≤2時(shí)，y=-

9

4

+

5

2

；
當(dāng)2≤t≤4時(shí)，y=

9

4

t-

5

2

；
（3）如圖3：

①當(dāng)C與T不重合時(shí)，△P₁OB∽△TOB，得

P1O

TO

=

BO

BO

，解得P₁O=4，即P₁（-4，0）；
△P₂OB∽△BOT，得

P2O

OB

=

OB

OT

，解得P₂O=

9

4

，即P₂（-

9

4

，0）；
如圖4：


當(dāng)y=3時(shí)，3=-

1

2

x+8，解得x=

5

2

，即BT=

5

2

，
②T與C不重合時(shí)，BT⊥OB，∠TBO=∠P₃OB=90°，
△P₃OB∽△TBO，得

P3O

BT

=

BO

OB

，
解得P₃O=

5

2

，P₃（-

5

2

，0）；
△P₄OB∽△OBT，得

P4O

OB

=

OB

TB

，P₄O=

18

5

，P₄（-

18

5

，0），
綜上所述：P（-

5

2

，0），（-

18

5

，0），（-4，0），（-

9

4

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．