【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+4的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A、B,與y軸交于點(diǎn)C,且A(1,0)、B(4,0).
(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)如圖1,拋物線的對稱軸m與x軸交于點(diǎn)E,CD⊥m,垂足為D,點(diǎn)F(,0),動點(diǎn)N在線段DE上運(yùn)動,連接CF、CN、FN,若以點(diǎn)C、D、N為頂點(diǎn)的三角形與△FEN相似,求點(diǎn)N的坐標(biāo);
(3)如圖2,點(diǎn)M在拋物線上,且點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn),若∠PMA=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1).
(2)N或N.
(3)P.
【解析】
(1)直接把A(1,0)、B(4,0)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求得的值,從而得到拋物線的解析式;
(2)先求得拋物線的對稱軸,然后求得CD,EF的長,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為()則ND=,NE=,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于的方程,然后可求得的值;
(3)過點(diǎn)A作AD∥y軸,過點(diǎn)M作DM∥x軸,交點(diǎn)為D,過點(diǎn)A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥x軸,垂足為F,連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P.則△AME為等腰直角三角形,然后再求得點(diǎn)M的坐標(biāo),從而可得到MD=2,AD=6,然后證明∴△ADM≌△AFE,于是可得到點(diǎn)E的坐標(biāo),然后求得EM的解析式為,最后求得直線EM與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.
解:(1)把A(1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+4
解得:
所以二次函數(shù)為:.
(2)因?yàn)?/span>CD⊥m,FE⊥m,
所以
①當(dāng)時,則
因?yàn)閽佄锞的對稱軸為,C(0,4)F(,0)
所以CD=,EF=,設(shè)N(,)
所以NE=,DN=4-,
所以 ,即,
解得:,所以N(,2).
②當(dāng)時,則,
所以,解得: ,
所以N(, ),
綜上可知N(,2)或N(, ).
(3) 如圖所示:過點(diǎn)A作AD∥y軸,過點(diǎn)M作DM∥ 軸,交點(diǎn)為D,
過點(diǎn)A作AE⊥AM,取AE=AM,作EF⊥軸,垂足為F,連結(jié)EM交拋物線與點(diǎn)P.
∵AM=AE,∠MAE=90°,
∴∠AMP=45°.
將代入拋物線的解析式得:,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,6). ∴MD=2,AD=6.
∵∠DAM+∠MAF=90°,∠MAF+∠FAE=90°,
∴∠DAM=∠FAE.
在△ADM和△AFE中
∴△ADM≌△AFE. ∴EF=DM=2,AF=AD=6.
∴E(5,-2).
設(shè)EM的解析式為. 將點(diǎn)M和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得:
解得
∴直線EM的解析式為.
所以
解得: 或 , ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一個二次函數(shù)滿足以下條件:①函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,0),B(x2,y2)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè));②對稱軸是x=3;③該函數(shù)有最小值是﹣2.
(1)請根據(jù)以上信息求出二次函數(shù)表達(dá)式;
(2)將該函數(shù)圖象中x>x2部分的圖象向下翻折與原圖象未翻折的部分組成圖象“G”,試結(jié)合圖象平行于x軸的直線y=m與圖象“G”的交點(diǎn)的個數(shù)情況.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,∠ACB=135°,AC=8,D、E分別是邊BC、AB上的一點(diǎn),若tan∠DEA=2,DE=,S△DEB=4,求四邊形ACDE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在我們認(rèn)識的多邊形中,有很多軸對稱圖形.有些多邊形,邊數(shù)不同對稱軸的條數(shù)也不同;有些多邊形,邊數(shù)相同但卻有不同數(shù)目的對稱軸.回答下列問題:
(1)非等邊的等腰三角形有________條對稱軸,非正方形的長方形有________條對稱軸,等邊三角形有___________條對稱軸;
(2)觀察下列一組凸多邊形(實(shí)線畫出),它們的共同點(diǎn)是只有1條對稱軸,其中圖1-2和圖1-3都可以看作由圖1-1修改得到的,仿照類似的修改方式,請你在圖1-4和圖1-5中,分別修改圖1-2和圖1-3,得到一個只有1條對稱軸的凸五邊形,并用實(shí)線畫出所得的凸五邊形;
(3)小明希望構(gòu)造出一個恰好有2條對稱軸的凸六邊形,于是他選擇修改長方形,圖2中是他沒有完成的圖形,請用實(shí)線幫他補(bǔ)完整個圖形;
(4)請你畫一個恰好有3條對稱軸的凸六邊形,并用虛線標(biāo)出對稱軸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=﹣(x>0)與y=(x<0)的圖象如圖所示,點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作y軸的垂線交圖象于A、B兩點(diǎn),連接OA、OB.下列結(jié)論;①若點(diǎn)M1(x1,y1),M2(x2,y2)在圖象上,且x1<x2<0,則y1<y2;②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,﹣3)時,△AOB是等腰三角形;③無論點(diǎn)P在什么位置,始終有S△AOB=7.5,AP=4BP;④當(dāng)點(diǎn)P移動到使∠AOB=90°時,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,﹣).其中正確的結(jié)論為___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿方向向終點(diǎn)B以每秒的速度勻速移動,點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向終點(diǎn)C以每秒的速度勻速移動,速度為.如果動點(diǎn)同時從點(diǎn)A,B出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P或點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時運(yùn)動停止.則當(dāng)運(yùn)動幾秒時,以點(diǎn)Q,B,P為頂點(diǎn)的三角形與相似?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2-bx+3的對稱軸是直線x=-1
(1)求證:2a+b=0;
(2)若關(guān)于x的方程ax2-bx-8=0的一個根是4,求方程的另一個根.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,M是AD邊的中點(diǎn),BM與AC垂直,交直線AC于點(diǎn)N,連接DN,則下列四個結(jié)論中:①CN=2AN;②DN=DC;③tan∠CAD=;④△AMN∽△CAB.正確的有( )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材,成本為2元/千克,每天的產(chǎn)量P(百千克)與銷售價格x(元/千克)滿足函數(shù)關(guān)系式p=x+8.從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn),該食材每天的市場需求量q(百千克)與銷售價格x(元/千克)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如表:
銷售價格x(元/千克) | 2 | 4 | …… | 10 |
市場需求量q(百千克) | 12 | 10 | …… | 4 |
已知按物價部門規(guī)定銷售價格x不低于2元/千克且不高于10元/千克,
(1)直接寫出q與x的函數(shù)關(guān)系式,并注明自變量x的取值范圍;
(2)當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場需求量時,這種食材能全部售出;當(dāng)每天的產(chǎn)量大于市場需求量時,只能售出市場需求的量,而剩余的食材由于保質(zhì)期短作廢棄處理;
①當(dāng)每天的食材能全部售出時,求x的取值范圍;
②求廠家每天獲得的利潤y(百元)與銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)x為多少時,y有最大值,并求出最大利潤.
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