Question

如圖，⊙O的直徑AB⊥CD于E，點M為⊙O上一點，tan∠CDA=

1

2

，
（1）求證：BE=CD；
（2）若OE=3，求sin∠CMD．

Answer 1

考點：垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：（1）先根據(jù)垂徑定理得出CD=2DE，再由tan∠CDA=

1

2

可知

AE

DE

=

1

2

，設AE=x，⊙O的半徑等于r，則DE=2x，連接OD，在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-x，根據(jù)勾股定理用x表示出r及OE的值，進而可得出結論；
（2）根據(jù)OE=3，即1.5x=3可得出x的值，故DE=4，BE=CD=8，AE=2，r=OD=5，再由∠CMD=∠EOD可得出結論．

解答：解：（1）∵⊙O的直徑AB⊥CD于E，
∴CD=2DE．  
∵tan∠CDA=

1

2

∴

AE

DE

=

1

2

．
∴設AE=x，⊙O的半徑等于，則DE=2x，
連接OD，在Rt△ODE中，OD=r，OE=r-x 
由勾股定理得：（r-x）²+（2x）²=r²，
解得r=2.5x，OE=1.5x，
∴BE=2.5x+1.5x=4x，
∵CD=2DE=4x，
∴BE=CD；

（2）∵OE=3，即1.5x=3，
∴x=2，
∴DE=4，BE=CD=8，AE=2，r=OD=5，
∵∠CMD=∠EOD，
∴sin∠CMD=sin∠EOD=

DE

OD

=

4

5

．

點評：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．