Question

【題目】已知，如圖，直線y= x﹣4與x軸，y軸分別交于B、A，將該直線繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，且tanα= ，旋轉(zhuǎn)后與x軸交于C點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng)，在PC上以每秒 個(gè)單位移動(dòng)，試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出所用的最短時(shí)間t．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y= x﹣4與x軸，y軸分別交于B、A，

∴A（0，﹣4），B（8，0），

過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED

∴ = = ，

∵OA=4，OB=8，∠BAD=α，tanα= = ，

∴BE=1，DE=2

∴D（9，﹣2）∴直線AC解析式為y= x﹣4

∴C（18，0）

（2）

解：過點(diǎn)（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．

設(shè)點(diǎn)F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，

∵S△ACF= AFOC= ACFQ，AF=8，OC=18，AC= = =2 ，

∴FQ= ，

∵△CQP∽△COA，

∴ = ，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= + = + = ，

∵FQ是垂線段，

∴點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，

∴t= ．

【解析】（1）過B作BD⊥AB交AC于D，過D作DE⊥x軸于E，則△AOB∽△BED，得到 = = ，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，求出AC的解析式即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)（0，4）作AC的垂線垂足為Q，該垂線與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)F（0，4），則A、F關(guān)于x軸對稱，所以AP=FP，首先證明t= ，由此推出
點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著A﹣P﹣C的運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)，求出FQ的長即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道一次函數(shù)是直線，圖像經(jīng)過仨象限；正比例函數(shù)更簡單,經(jīng)過原點(diǎn)一直線；兩個(gè)系數(shù)k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負(fù)來左下展,變化規(guī)律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠(yuǎn)．