Question

如圖，點M是反比例函數(shù)y=

2

x

在第一象限內(nèi)圖象上的點，作MB⊥x軸于B．過點M的第一條直線交y軸于點A₁，交反比例函數(shù)圖象于點C₁，且A₁C₁=

1

2

A₁M，△A₁C₁B的面積記為S₁；過點M的第二條直線交y軸于點A₂，交反比例函數(shù)圖象于點C₂，且A₂C₂=

1

4

A₂M，△A₂C₂B的面積記為S₂，則S₂=

 

；若繼續(xù)過點M的第三條直線交y軸于點A₃，交反比例函數(shù)圖象于點C₃，且A₃C₃=

1

8

A₃M，△A₃C₃B的面積記為S₃；以此類推…；則S_n=

 

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：過點M作MD⊥y軸于點D，過點A₁作A₁E⊥BM于點E，過點C₁作C₁F⊥BM于點F，由M在反比例函數(shù)圖象上，得到OB•BM=2，表示出三角形A₁BM的面積，根據(jù)A₁C₁=

1

2

A₁M，得到C₁為A₁M的中點，C₁到BM的距離C₁F為A₁到BM的距離A₁E的一半，求出S₁的值，同理求出S₂的值，歸納總結得到一般性規(guī)律確定出S_n的值即可．

解答：解：過點M作MD⊥y軸于點D，過點A₁作A₁E⊥BM于點E，過點C₁作C₁F⊥BM于點F，
∵點M是反比例函數(shù)y=

2

x

在第一象限內(nèi)圖象上的點，
∴OB×BM=2，
∴S_△A1BM=

1

2

OB×MB=1，
∵A₁C₁=

1

2

A₁M，即C₁為A₁M中點，
∴C₁到BM的距離C₁F為A₁到BM的距離A₁E的一半，
∴S₁=S_△BMC1=

1

2

S_△A1BM=

1

2

，
∴S_△BMA2=

1

2

BM•A₂到BM距離=

1

2

×BM×BO=1，
∵A₂C₂=

1

4

A₂M，
∴C₂到BM的距離為A₂到BM的距離的

3

4

，
∴S₂=S_△A2C2B=

1

4

S_△BMA2=

1

4

，
同理可得：S₃=

1

8

，S₄=

1

16

，…，
則S_n=

1

2n

．
故答案為：

1

4

；

1

2n

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，根據(jù)同底三角形對應高的關系得出面積關系是解題關鍵．