如圖,已知拋物線的對稱軸為直線l:x=4,且與x軸交于點(diǎn)A(2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,2).
(1)求拋物線的解析式;
(2)試探究在此拋物線的對稱軸l上是否存在一點(diǎn)P,使AP+CP的值最。咳舸嬖,求AP+CP的最小值,若不存在,請說明理由;
(3)以AB為直徑作⊙M,過點(diǎn)C作直線CE與⊙M相切于點(diǎn)E,CE交x軸于點(diǎn)D,求直線CE的解析式.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)利用頂點(diǎn)式,根據(jù)待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;
(2)線段BC的長即為AP+CP的最小值;
(3)連接ME,根據(jù)CE是⊙M的切線得到ME⊥CE,∠CEM=90°,從而證得△COD≌△MED,設(shè)OD=x,在RT△COD中,利用勾股定理求得x的值即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定線段CE的解析式即可.
【解答】解:(1)如圖1,由題意,設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣4)2+k(a≠0)
∵拋物線經(jīng)過A(2,0)、C(0,2).
∴,
解得:a=,.
∴,
即:.
令y=0,得x2﹣8x+12=0,
即(x﹣2)(x﹣6)=0,
∴x1=2,x2=6.
∴拋物線與x軸另﹣交于點(diǎn)B(6,0).
(2)存在.
如本題圖2,連接CB交l于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即是使AP+CP的值最小的點(diǎn).
∵A、B關(guān)于l對稱,
∴AP=BP,
∴AP+CP=CB,即AP+CP的最小值為BC.
∵OB=6,OC=2,
∴.
∴AP+CP的最小值為;
(3)如圖3,連接ME,
∵CE是⊙M的切線,
∴ME⊥CE,∠CEM=90°,
由題意,得OC=ME=2,∠ODC=∠MDE.
在△COD與△MED中,
,
∴△COD≌△MED(AAS),
∴OD=DE,DC=DM,
設(shè)OD=x,則CD=DM=OM﹣OD=4﹣x,
則在Rt△COD中,
又∵OD2+OC2=CD2,
∴x2+22=(4﹣x)2,
解得,
∴D(,0),
設(shè)直線CE的解析式為y=mx+b,
∵直線CE過C(0,2)、D(,0)兩點(diǎn),
∴,
解方程組得:.
∴直線CE的解析式為y=.
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識以及利用軸對稱求最短路徑和待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識,利用數(shù)形結(jié)合得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
運(yùn)動會上,初二(3)班啦啦隊(duì),買了兩種價格的雪糕,其中甲種雪糕共花費(fèi)40元,乙種雪糕共花費(fèi)30元,甲種雪糕比乙種雪糕多20根.乙種雪糕價格是甲種雪糕價格的1.5倍,若設(shè)甲種雪糕的價格為x元,根據(jù)題意可列方程為( )
A. B.
C. D.
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國家海洋局將中國釣魚島最高峰命名為“高華峰”,并對釣魚島進(jìn)行常態(tài)化立體巡航.如圖1,在一次巡航過程中,巡航飛機(jī)飛行高度為2001米,在點(diǎn)A測得高華峰頂F點(diǎn)的俯角為30°,保持方向不變前進(jìn)1200米到達(dá)B點(diǎn)后測得F點(diǎn)俯角為45°,如圖2.請據(jù)此計(jì)算釣魚島的最高海拔高度多少米.(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)值: =1.732, =1.414)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
在大量重復(fù)試驗(yàn)中,關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率,下列說法正確的是( )
A.頻率就是概率
B.頻率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)
C.概率是隨機(jī)的,與頻率無關(guān)
D.隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率一般會越來越接近概率
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊的中點(diǎn),把△ABE沿直線AE折疊,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′,AB′的延長線交DC于點(diǎn)F,若FC=2,則正方形的邊長為 .
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