Question

【題目】在矩形ABCD中，邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處（如圖1）．
（1）如圖2，設(shè)折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接，OP、OA．已知△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長(zhǎng)；
（2）動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上（不與點(diǎn)P、A重合），動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BN=PM，連接MN、CA，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥BP于點(diǎn)E．
①在圖1中畫(huà)出圖形；
②在△OCP與△PDA的面積比為1：4不變的情況下，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折疊可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA，
∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，
∴=
∴CP=AD=4，
設(shè)OP=x，則CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，
由勾股定理得 x2=（8﹣x）2+42 ，
解得：x=5，
∴AB=AP=2OP=10，
∴邊AB的長(zhǎng)為10；
（2）①作圖如下：

②作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖1．
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．
∴∠APB=∠MQP．
∴MP=MQ．
∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，
∴PE=EQ=PQ．
∵BN=PM，MP=MQ，
∴BN=QM．
∵M(jìn)Q∥AN，
∴∠QMF=∠BNF．
在△MFQ和△NFB中，
，
∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=BF．
∴QF=QB．
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．
由（1）中的結(jié)論可得：
PC=4，BC=8，∠C=90°．
∴PB==4．
∴EF=PB=2．
∴當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度不變，長(zhǎng)度為2．

【解析】（1）根據(jù)相似三角形△OCP∽△PDA的性質(zhì)求出PC長(zhǎng)以及AP與OP的關(guān)系，然后在Rt△PCO中運(yùn)用勾股定理求出OP長(zhǎng)，從而求出AB長(zhǎng)；
（2）①根據(jù)題意作出圖形；
②由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線(xiàn)段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長(zhǎng)就可以求出EF長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)圖象的平移的相關(guān)知識(shí)，掌握平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點(diǎn)（h,k）（2）對(duì)x軸左加右減；對(duì)y軸上加下減．